Câu 114: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AC = 4cm, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC.
a. Tứ giác ADME là hình gì ? Tính chu vi của tứ giác đó.
b. Điểm M ở vị trí nào trên cạnh BC thì đoạn thẳng DE có độ dài nhỏ nhất ?
a. Xét tứ giác ADME ta có:
\(\widehat A = {90^0}\) (gt)
MD ⊥ AB (gt)
\( \Rightarrow \widehat {ADM} = {90^0}\)
ME ⊥ AC (gt)
\( \Rightarrow \widehat {AEM} = {90^0}\)
Suy ra: Tứ giác ADME là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông)
∆ ABC vuông cân tại A \( \Rightarrow \widehat B = {45^0}\)
Suy ra: ∆ DBM vuông cân tại D ⇒ DM = DB
Chu vi hình chữ nhật ADME bằng :
2(AD + DM) = 2 ( AD + DB) = 2 AB = 2.4 = 8 (cm)
b. Gọi H là trung điểm của BC
Suy ra: AH ⊥ BC (tính chất tam giác cân)
AM ≥ AH (dấu “=” xảy ra khi M trùng với H)
Tứ giác ADME là hình chữ nhật
⇒ AM = DE (tính chất hình chữ nhật)
Suy ra: DE ≥ AH
Vậy DE = AH có độ dài nhỏ nhất khi điểm M là trung điểm của BC.
Câu 115: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Gọi D là điểm đối xứng với G qua M, gọi E là điểm đối xứng với G qua N. Tứ giác BEDC là hình gì ? Vì sao ?
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có: G là trọng tâm của ∆ ABC
⇒ GB = 2GM (tính chất đường trung tuyến)
GC = 2GN (tính chất đường trung tuyến)
Điểm D đối xứng với điểm G qua điểm M
⇒ MG = MD hay GD = 2 GM
Suy ra: GD = GD (1)
Điểm E đối xứng với điểm G qua điểm N
⇒ NG = NE hay GE = 2 GN
Suy ra: GC = GE (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BCDE là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
Xét ∆ BCM và ∆ CBN:
BC cạnh chung
Advertisements (Quảng cáo)
\(\widehat {BCM} = \widehat {CBN}\) (tính chất tam giác cân)
CM = BN ( vì AB = AC)
Do đó: ∆ BCM = ∆ CBN (c.g.c)
\( \Rightarrow {\widehat B_1} = {\widehat C_1}\)⇒ ∆ GBC cân tại G ⇒ GB = GC ⇒ BD = CE
Hình bình hành BCDE có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
Câu 116: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BD. Biết HD = 2cm, HB = 6cm. Tính các độ dài AD, AB (làm tròn đến hàng đơn vị).
Ta có: DB = HD + HB = 2 + 6 = 8(cm)
AC = DB (tính chất hình chữ nhật)
OA = OB = OC = OD = \({1 \over 2}\)BD = 4(cm)
OD = OH + HD
⇒ OH = OD – HD = 4 – 2 = 2(cm)
AH ⊥ OD có HO = HD = 2(cm)
Suy ra: ∆ ADO cân tại A
⇒ AD = AO = 4(cm)
Trong tam giác vuông ABD có \(\widehat {BAD} = {90^0}\)
\(B{D^2} = A{B^2} + A{D^2}\) (định lý Pi-ta-go) \( \Rightarrow A{B^2} = B{D^2} – A{D^2}\)
\(AB = \sqrt {B{D^2} – A{D^2}} = \sqrt {{8^2} – {4^2}} = \sqrt {48} \approx 7\) (cm).
Câu 117: Chứng minh rằng ba điểm C, B, D trên hình 18 thẳng hàng.
Nối AB, BO, BC, BO’, BD.
Trong ∆ ABC ta có:
OA = OC = R (bán kính đường tròn (O))
nên BO là đường trung tuyến của ∆ ABC
mà BO = R(bán kính (O))
⇒ BO = OA = OC = \({1 \over 2}\)AC
nên tam giác ABC vuông tại B \( \Rightarrow \widehat {ABC} = {90^0}\)
Trong ∆ ABD ta có: AO’ = O’D = R’ (bán kính (O’))
nên BO’ là đường trung tuyến của ∆ ABD
mà BO’ = R’ (bán kính (O’)) ⇒ BO’ = AO’ = O’D = \({1 \over 2}\)AD
nên tam giác ABD vuông tại B \( \Rightarrow \widehat {ABD} = {90^0}\)
\(\widehat {ABC} + \widehat {ABD} = \widehat {CBD}\)
\( \Rightarrow \widehat {CBD} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Vậy C, B, D thẳng hàng.
