Câu 26: Chứng minh rằng hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng DC tại K.
Ta có hình thang ABKC có hai cạnh bên BK // AC nên AC = BK
Mà AC = BD (gt)
Suy ra: BD = BK do đó ∆ BDK cân tại B
\( \Rightarrow {\widehat D_1} = \widehat K\) (tính chất tam giác cân)
Ta lại có: \({\widehat C_1} = \widehat K\) (hai góc đồng vị)
Suy ra: \({\widehat D_1} = {\widehat C_1}\)
Xét ∆ ACD và ∆ BDC:
AC = BD (gt)
\({\widehat D_1} = {\widehat C_1}\) (chứng minh trên)
CD cạnh chung
Do đó: ∆ ACD = ∆ BDC (c.g.c) \( \Rightarrow \widehat {ADC} = \widehat {BCD}\)
Hình thang ABCD có \(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\) nên là hình thang cân.
Câu 27: Tính các góc của hình thang cân, biết một góc bằng \({50^0}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Giả sử hình thang cân ABCD có AB // CD và \(\widehat D = {50^0}\)
Vì \(\widehat C = \widehat D\) (tính chất hình thang cân)
\( \Rightarrow \widehat C = {50^0}\)
\(\widehat A + \widehat D = {180^0}\) (hai góc trong cùng phía)
\( \Rightarrow \widehat A = {180^0} – \widehat D = {180^0} – {50^0} = {130^0}\)
\(\widehat B = \widehat A\) (tính chất hình thang cân) \(\Rightarrow \widehat B = {130^0}\)
Câu 28: Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB bằng cạnh bên AD. Chứng minh rằng CA là tia phân giác của góc C.
Advertisements (Quảng cáo)
AB = AD (gt)
AD = BC (tính chất hình thang cân)
⇒ AB = BC do đó ∆ ABC cân tại B
\(\Rightarrow {\widehat A_1} = {\widehat C_1}\) (tính chất tam giác cân)
Mặt khác: AB // CD (gt)
\({\widehat A_1} = {\widehat C_2}\) (hai góc so le trong)
Suy ra: \({\widehat C_1} = {\widehat C_2}\)
Vậy CA là tia phân giác của \(\widehat {BCD}\).
Câu 29: Hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại O. Biết rằng OA = OC, OB = OD. Tứ giác ACBD là hình gì ? Vì sao ?
Ta có: OA = OC (gt)
⇒ ∆ OAC cân tại O
\( \Rightarrow {\widehat A_1} = {{{{180}^0} – \widehat {AOC}} \over 2}\) (tính chất tam giác cân) (1)
OB = OD (gt)
⇒ ∆ OBD cân tại O
\( \Rightarrow {\widehat B_1} = {{{{180}^0} – \widehat {BOD}} \over 2}\) (tính chất tam giác cân) (2)
\(\widehat {AOC} = \widehat {BOD}\) (đối đỉnh) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \({\widehat A_1} = {\widehat B_1}\)
⇒ AC // BD (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)
Suy ra: Tứ giác ACBD là hình thang
Ta có: AB = OA + OB
CD = OC + OD
Mà OA = OC, OB = OD
Suy ra: AB = CD
Vậy hình thang ACBD là hình thang cân.
