Câu 24: Trang 160 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho hình 74, trong đó MN = PQ. Chứng minh rằng:
a) AE = AF; b) AN = AQ.
a) Nối OA
Ta có: MN = PQ (gt)
Suy ra: OE = OF (hai dây bằng nhau cách đều tâm)
Xét hai tam giác OAE và OAF, ta có:
\(\widehat {OEA} = \widehat {{\rm{OF}}A} = 90^\circ \)
OA chung
OE = OF ( chứng minh trên)
Suy ra: ∆OAE = ∆OAF (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
Suy ra: AE = AF
b) Ta có: OE ⊥ MN (gt)
Suy ra: \(EN = {1 \over 2}MN\) (đường kính vuông góc với dây cung) (1)
OF ⊥PQ (gt)
Suy ra: \(FQ = {1 \over 2}PQ\) (đường kính vuông góc với dây cung) (2)
Advertisements (Quảng cáo)
Mặt khác: MN = PQ (gt) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: EN = FQ (4)
Mà AE = QF ( chứng minh trên) (5)
Từ (4) và (5) suy ra: AN + NE = AQ + QF (6)
Từ (5) và (6) suy ra: AN = AQ.
Câu 25: Cho hình 75, trong đó hai dây CD, EF bằng nhau và vuông góc với nhau tại I, IC = 2cm, ID = 14cm. Tính khoảng cách từ O đến mỗi dây.
Kẻ OH ⊥ CD, OK ⊥EF
Vì tứ giác OKIH có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.
Ta có: CD = EF (gt)
Advertisements (Quảng cáo)
Suy ra: OH = OK (hai dây bằng nhau cách đều tâm)
Suy ra tứ giác OKIH là hình vuông.
Ta có:
CD = CI + ID = 2 + 14 =16 (cm)
\(HC = HD = {{CD} \over 2} = 8\) (cm) (đường kính dây cung)
IH = HC – CI = 8 – 2 = 6 (cm)
Suy ra: OH = OK = 6 (cm) (OKIH là hình vuông).
Câu 26: Cho đường tròn (O), dây AB và dây CD, AB < CD. Giao điểm K của các đường thẳng AB, CD nằm ngoài đường tròn. Đường tròn (O ; OK) cắt KA và KC tại M và N.
Chứng minh rằng KM < KN.
Kẻ OI ⊥ AB, OE ⊥ CD
Trong ( O ; OA) ta có: AB < CD (gt)
Suy ra: OI > OE (dây lớn hơn gần tâm hơn)
Trong (O ; OK) ta có: OI > OE (cmt)
Suy ra: KM < KN (dây gần tâm hơn thì lớn hơn).
Câu 27: Cho đường tròn (O) và điểm I nằm bên trong đường tròn. Chứng minh rằng dây AB vuông góc với OI tại I ngắn hơn mọi dây khác đi qua I.
Gọi CD là dây bất kì đi qua I và CD không vuông góc với OI.
Kẻ OK ⊥ CD
Tam giác OKI vuông tại K nên OI > OK
Suy ra: AB < CD ( dây lớn hơn gần tâm hơn)
Vậy dây AB vuông góc với IO tại I ngắn hơn mọi dây khác đi qua I.
