Câu 16. Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x0 được cho kèm theo
a. \(y = 7 + x – {x^2},{x_0} = 1\)
b. \(y = {x^3} – 2x + 1,{x_0} = 2\)
c. \(y = 2{x^5} – 2x + 3,{x_0} = 1\)
a. \(y’ = 1 – 2x \Rightarrow y’\left( 1 \right) = – 1\)
b. \(y’ = 3{x^2} – 2 \Rightarrow y’\left( 2 \right) = 10\)
c. \(y’ = 10{x^4} – 2 \Rightarrow y’\left( 1 \right) = 8\)
Câu 17. Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau (a và b là hằng số)
a. \(y = {x^5} – 4{x^3} + 2x – 3\sqrt x \)
b. \(y = {1 \over 4} – {1 \over 3}x + {x^2} – 0,5{x^4}\)
c. \(y = {{{x^4}} \over 4} – {{{x^3}} \over 3} + {{{x^2}} \over 2} – x + {a^3}\)
d. \(y = {{ax + b} \over {a + b}}\)
a. \(y’ = 5{x^4} – 12{x^2} + 2 – {3 \over {2\sqrt x }}\)
b. \(y’ = – {1 \over 3} + 2x – 2{x^3}\)
c. \(y’ = {x^3} – {x^2} + x – 1\)
d. \(y = {a \over {a + b}}\)
Câu 18. Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau :
a. \(y = \left( {{x^7} + {x}} \right)^2\)
b. \(y = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {5 – 3{x^2}} \right)\)
c. \(y = {{2x} \over {{x^2} – 1}}\)
d. \(y = {{5x – 3} \over {{x^2} + x + 1}}\)
e. \(y = {{{x^2} + 2x + 2} \over {x + 1}}\)
f. \(y = x\left( {2x – 1} \right)\left( {3x + 2} \right)\)
a. Ta có: \(y = {x^{14}} + 2{x^8} + {x^2} \Rightarrow y’ = 14{x^{13}} + 16{x^7} + 2x\)
b.
\(\eqalign{ & y’ = \left( {{x^2} + 1} \right)’\left( {5 – 3{x^2}} \right) + \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {5 – 3{x^2}} \right)’ \cr & = 2x\left( {5 – 3{x^2}} \right) – 6x\left( {{x^2} + 1} \right) = 4x – 12{x^3} \cr} \)
c. \(y’ = {{2\left( {{x^2} – 1} \right) – 2x\left( {2x} \right)} \over {{{\left( {{x^2} – 1} \right)}^2}}} = {{ – 2\left( {{x^2} + 1} \right)} \over {{{\left( {{x^2} – 1} \right)}^2}}}\)
d. \(y’ = {{5\left( {{x^2} + x + 1} \right) – \left( {5x – 3} \right)\left( {2x + 1} \right)} \over {{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}^2}}} = {{ – 5{x^2} + 6x + 8} \over {{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}^2}}}\)
e. \(y’ = {{\left( {2x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) – \left( {{x^2} + 2x + 2} \right)} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = {{{x^2} + 2x} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
f.
\(\eqalign{ & y = \left( {2{x^2} – x} \right)\left( {3x + 2} \right) \cr & \Rightarrow y’ = \left( {4x – 1} \right)\left( {3x + 2} \right) + \left( {2{x^2} – x} \right)3 \cr & = 18{x^2} + 2x – 2 \cr} \)
Câu 19. Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau
a. \(y = {\left( {x – {x^2}} \right)^{32}}\)
b. \(y = {1 \over {x\sqrt x }}\)
c. \(y = {{1 + x} \over {\sqrt {1 – x} }}\)
d. \(y = {x \over {\sqrt {{a^2} – {x^2}} }}\) (a là hằng số)
a. \(y’ = 32{\left( {x – {x^2}} \right)^{31}}\left( {1 – 2x} \right)\)
b. \(y’ =- {{\left( {x\sqrt x } \right)’} \over {{x^3}}} = -{{\sqrt x + {x \over {2\sqrt x }}} \over {{x^3}}} = {{ – 3x} \over {2\sqrt x .{x^3}}} = {{ – 3} \over {2{x^2}\sqrt x }}\)
c. \(y’ = {{\sqrt {1 – x} – \left( {1 + x} \right).{{ – 1} \over {2\sqrt {1 – x} }}} \over {1 – x}} = {{2\left( {1 – x} \right) + 1 + x} \over {2\sqrt {{{\left( {1 – x} \right)}^3}} }} = {{3 – x} \over {2\sqrt {{{\left( {1 – x} \right)}^3}} }}\)
d.
\(\eqalign{ & y’ = {{\sqrt {{a^2} – {x^2}} – x.{{ – 2x} \over {2\sqrt {{a^2} – {x^2}} }}} \over {{{\left({\sqrt {{a^2} – {x^2}} } \right)}^2}}} = {{2\left( {{a^2} – {x^2}} \right) + 2{x^2}} \over {2{{\left( {\sqrt {{a^2} – {x^2}} } \right)}^3}}} \cr & = {{{a^2}} \over {\sqrt {{{\left( {{a^2} – {x^2}} \right)}^3}} }} \cr} \)
Câu 20. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} – 2x} \) . Hãy giải bất phương trình \(f’\left( x \right) \le f\left( x \right)\)
Advertisements (Quảng cáo)
Vì \(f’\left( x \right) = {{x – 1} \over {\sqrt {{x^2} – 2x} }}\) nên ta cần giải bất phương trình \({{x – 1} \over {\sqrt {{x^2} – 2x} }} \le \sqrt {{x^2} – 2x} \)
Ta có:
\(\eqalign{ & {{x – 1} \over {\sqrt {{x^2} – 2x} }} \le \sqrt {{x^2} – 2x} \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {x < 0\,\text{ hoặc }\,x > 2} \cr {x – 1 \le {x^2} – 2x} \cr } } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {x < 0\,\text{ hoặc }\,x > 2} \cr {x \le {{3 – \sqrt 5 } \over 2}\,\text{ hoặc }\,x \ge {{3 + \sqrt 5 } \over 2}} \cr } } \right. \cr} \)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là : \(\left( { – \infty ;0} \right) \cup \left[ {{{3 + \sqrt 5 } \over 2}; + \infty } \right)\)
Câu 21. Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} – 3{x^2} + 2.\) Hãy giải bất phương trình :
a. \(f’\left( x \right) > 0\)
b. \(f’\left( x \right) \le 3\)
Ta có: \(f’\left( x \right) = 3{x^2} – 6x\)
a. \(f’\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 6x > 0 \Leftrightarrow x < 0\,\text{ hoặc }\,x > 2\)
b. \(f’\left( x \right) \le 3 \Leftrightarrow 3{x^2} – 6x \le 3 \)
\(\Leftrightarrow {x^2} – 2x – 1 \le 0 \Leftrightarrow 1 – \sqrt 2 \le x \le 1 + \sqrt 2 \)
Câu 22. Tìm các nghiệm của phương trình sau (làm tròn kết quả nghiệm gần đúng đến hàng phần nghìn)
a. \(f’\left( x \right) = 0\,\text{ với }\,f\left( x \right) = {{{x^3}} \over 3} – 2{x^2} – 6x – 1\)
b. \(f’\left( x \right) = – 5\,\text{ với }\,f\left( x \right) = {{{x^4}} \over 4} – {x^3} – {{3{x^2}} \over 2} – 3.\)
a.
\(\eqalign{ & f’\left( x \right) = {x^2} – 4x – 6 \cr & f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 4x – 6 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x = 2 – \sqrt {10} \approx – 1,162} \cr {x = 2 + \sqrt {10} \approx 5,162} \cr } } \right. \cr} \)
b. Ta có: \(f’ = {x^3} – 3{x^2} – 3x.\) Do đó :
\(\eqalign{ & f’ + 5 = 0 \Leftrightarrow {x^3} – 3{x^2} – 3x + 5 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} – 2x – 5} \right) = 0 \cr} \)
Phương trình có ba nghiệm là \(1;1 + \sqrt 6 \;\text{ và }\,1 – \sqrt 6 \)
Vậy các nghiệm gần đúng của phương trình với sai số tuyệt đối không vượt quá 0,001 là :
\(\eqalign{ & {x_1} = 1 \cr & {x_2} = 3,449 \pm 0,001 \cr & {x_3} = – 1,449 \pm 0,001 \cr} \)
Câu 23. Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau
a. \(y = {{2x + 3} \over {{x^2} – 5x + 5}}\)
b. \(y = {1 \over {{{\left( {{x^2} – x + 1} \right)}^5}}}\)
c. \(y = {x^2} + x\sqrt x + 1\)
d. \(y = \left( {x + 1} \right){\left( {x + 2} \right)^2}{\left( {x + 3} \right)^3}\)
e. \(y = \sqrt {{{{x^2} + 1} \over x}} \)
Advertisements (Quảng cáo)
a. \(y’ = {{2\left( {{x^2} – 5x + 5} \right) – \left( {2x + 3} \right)\left( {2x – 5} \right)} \over {{{\left( {{x^2} – 5x + 5} \right)}^2}}} = {{ – 2{x^2} – 6x + 25} \over {{{\left( {{x^2} – 5x + 5} \right)}^2}}}\)
b. \(y’ = {{ – 5{{\left( {{x^2} – x + 1} \right)}^4}\left( {2x – 1} \right)} \over {{{\left( {{x^2} – x + 1} \right)}^{10}}}} = {{ – 5\left( {2x – 1} \right)} \over {{{\left( {{x^2} – x + 1} \right)}^6}}}\)
c. \(y’ = 2x + \sqrt x + x.{1 \over {2\sqrt x }} = 2x + {3 \over 2}\sqrt x \)
d.
\(\eqalign{ & y’ = {\left( {x + 2} \right)^2}{\left( {x + 3} \right)^2} + \left( {x + 1} \right).2\left( {x + 2} \right){\left( {x + 3} \right)^3} + \left( {x + 1} \right){\left( {x + 2} \right)^2}3{\left( {x + 3} \right)^2} \cr & = 2\left( {x + 2} \right){\left( {x + 3} \right)^2}\left( {3{x^2} + 11x + 9} \right) \cr} \)
e. \(y = \sqrt {x + {1 \over x}} \Rightarrow y’ = {{1 – {1 \over {{x^2}}}} \over {2\sqrt {x + {1 \over x}} }} = {{{x^2} – 1} \over {2{x^2}\sqrt {{{{x^2} + 1} \over x}} }}\)
Câu 24. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
a. \(y = {{x – 1} \over {x + 1}}\), biết hoành độ tiếp điểm là x0 = 0
b. \(y = \sqrt {x + 2} ,\) biết tung độ tiếp điểm là y0 = 2.
a.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {{x – 1} \over {x + 1}} \cr & {x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = f\left( 0 \right) = – 1 \cr & f’\left( x \right) = {{\left| {\matrix{ 1 & { – 1} \cr 1 & 1 \cr } } \right|} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = {2 \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \Rightarrow f\left( 0 \right) = 2 \cr} \)
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là :
\(y – \left( { – 1} \right) = 2\left( {x – 0} \right) \Leftrightarrow y = 2x – 1\)
b.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \sqrt {x + 2} ;f\left( {{x_0}} \right) = 2 \cr&\Leftrightarrow \sqrt {{x_0} + 2} = 2 \Leftrightarrow {x_0} = 2 \cr & f’\left( x \right) = {1 \over {2\sqrt {x + 2} }} \Rightarrow f’\left( 2 \right) = {1 \over 4} \cr} \)
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là :
\(y – 2 = {1 \over 4}\left( {x – 2} \right) \Leftrightarrow y = {{x + 6} \over 4}\)
Câu 25. Viết phương trình tiếp tuyến của parabol \(y = {x^2}\) , biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0 ; -1).
Hướng dẫn : Trước hết viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 thuộc parabol đã cho. Sau đó tìm x0 để tiếp tuyến đi qua điểm A (chú ý rằng điểm A không thuộc parabol).
Đặt \(f\left( x \right) = {x^2}\) và gọi M0 là điểm thuộc (P) với hoành độ x0. Khi đó tọa độ của điểm M0 là \(\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\,hay\,\left( {{x_0};x_0^2} \right)\)
Cách 1 : Ta có: \(y’ = 2x\). Phương trình tiếp điểm của (P) tại điểm M0 là
\(y = 2{x_0}\left( {x – {x_0}} \right) + x_0^2 \Leftrightarrow y = 2{x_0}x – x_0^2\)
Tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0 ; -1) nên ta có :
\( – 1 = 2{x_0}.0 – x_0^2 \Leftrightarrow {x_0} = \pm 1\)
+ Với x0 = 1 thì f(x0) = 1, f ’(x0) = 2 và phương trình tiếp tuyến phải tìm là :
\(y = 2\left( {x – 1} \right) + 1 \Leftrightarrow y = 2x – 1\)
+ Với x0 = -1 thì f(x0) = 1, f ’(x0) = -2
và phương trình tiếp tuyến phải tìm là :
\(y = – 2\left( {x + 1} \right) + 1 \Leftrightarrow y = – 2x – 1\)
Vậy có hai tiếp tuyến của (P) đi qua
A với các phương trình tương ứng là: \(y = ±2x – 1\)
Cách 2 : Phương trình đường thẳng (d) đi qua A(0 ; -1) với hệ số góc k là :
\(y = kx – 1\)
Để (d) tiếp xúc (P) tại điểm M0 điều kiện cần và đủ là:
\(\left\{ {\matrix{ {f\left( {{x_0}} \right) = k{x_0} – 1} \cr {f’\left( {{x_0}} \right) = k} \cr } } \right.\,hay\,\left\{ {\matrix{ {x_0^2 = k{x_0} – 1} \cr {2{x_0} = k} \cr } } \right.\)
Khử x0 từ hệ này ta tìm được \(k = ±2\).
Vậy có hai tiếp tuyến của (P) đi qua điểm A(0 ; -1) với các phương trình là :
\(y = \pm 2x – 1\)
Câu 26. Hình 5.6 thể hiện màn hình của một trò chơi điện tử. Một máy bay xuất hiện ở bên trái màn hình rồi bay sang phải theo một quỹ đạo (C) là đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) , trong đó \(f\left( x \right) = – 1 – {1 \over x},\left( {x > 0} \right).\) Biết rằng tên lửa được bắn ra từ máy bay tại một điểm thuộc (C) sẽ bay theo phương tiếp tuyến của (C) tại điểm đó. Tìm hoành độ các điểm thuộc (C) sao cho tên lửa bắn ra từ đó có thể bắn trúng một trong bốn mục tiêu nằm ở trên màn hình có tọa độ (1 ; 0), (2 ; 0), (3 ; 0) và (4 ; 0) (làm tròn kết quả đến hàng phần vạn)
Ta có: \(f’\left( x \right) = {1 \over {{x^2}}}\)
Phương trình tiếp tuyến (d) của quỹ đạo (C) tại tiếp điểm \({M_0}\left( {{x_0}; – 1 – {1 \over {{x_0}}}} \right)\) là :
\(\eqalign{ & y = {1 \over {x_0^2}}\left( {x – {x_0}} \right) – 1 – {1 \over {{x_0}}} \cr & hay\,x_0^2 + 2{x_0} – x + x_0^2y = 0 \cr} \)
Ta phải tìm x0 > 0, sao cho (d) lần lượt đi qua 4 điểm có tọa độ (1 ; 0), (2 ; 0), (3 ; 0) và (4 ; 0).
a. Với x = 1, y = 0, ta có \(x_0^2 + 2{x_0} – 1 = 0.\,Suy\,ra\,{x_0} = – 1 + \sqrt 2 \approx 0,4142\)
b. Với x = 2, y = 0, ta có \(x_0^2 + 2{x_0} – 2 = 0.\,Suy\,ra\,{x_0} = – 1 + \sqrt 3 \approx 0,7321\)
c. Với x = 3, y = 0, ta có \(x_0^2 + 2{x_0} – 3 = 0.\,Suy\,ra\,{x_0} = 1\)
d. Với x = 4, y = 0, ta có \(x_0^2 + 2{x_0} – 4 = 0.\,Suy\,ra\,{x_0} = – 1 + \sqrt 5 \approx 1,2361\)
Câu 27. Một viên đạn được bắn lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng với tốc độ ban đầu v0 = 196 m/s (bỏ qua sức cản của không khí). Tìm thời điểm tại đó tốc độ của viên đạn bằng 0. Khi đó, viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét ?
Cho Ox theo phương thẳng đứng, chiều dương hướng từ mặt đất lên trời, gốc O là vị trí viên đạn được bắn lên, khi đó phương trình chuyển động của viên đạn là :
\(y = {v_0}t – {1 \over 2}g{t^2}\,\left( {g = 9,8m/{s^2}} \right)\)
Ta có vận tốc tại thời điểm t là :
\(v = y’\left( t \right) = {v_0} – gt\)
Do đó : \(v = 0 \Leftrightarrow {v_0} – gt = 0 \Leftrightarrow t = {{{v_0}} \over g} = {{196} \over {9,8}} = 20\left( s \right)\)
Vậy khi t = 20s thì viên đạn bắt đầu rơi, lúc đó viên đạn cách mặt đất :
\(y = {v_0}t – {1 \over 2}g{t^2} = 196.20 – {1 \over 2}.9,{8.20^2} = 1960\,\left( m \right)\)
