Câu 28. Tìm các giới hạn sau :
a. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\tan 2x} \over {\sin 5x}}\)
b. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{1 – {{\cos }^2}x} \over {x\sin 2x}}\)
c. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{1 + \sin x – \cos x} \over {1 – \sin x – \cos x}}\)
a. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\tan 2x} \over {\sin 5x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sin 2x} \over {\cos 2x.\sin 5x}} \)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sin 2x} \over {2x}}.{1 \over {\cos 2x.{{\sin 5x} \over {5x}}}}.{2 \over 5} = {2 \over 5}\)
b. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{1 – {{\cos }^2}x} \over {x\sin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{{\sin }^2}x} \over {2x\sin x\cos x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sin x} \over {2x\cos x}} = {1 \over 2}\)
c.
\(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{1 + \sin x – \cos x} \over {1 – \sin x – \cos x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{2\sin^2 {x \over 2} + 2\sin {x \over 2}\cos {x \over 2}} \over {2{{\sin }^2}{x \over 2} – 2\sin {x \over 2}\cos {x \over 2}}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sin {x \over 2} + \cos {x \over 2}} \over {\sin {x \over 2} – \cos {x \over 2}}} = – 1 \cr} \)
Câu 29. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a. \(y = 5\sin x – 3\cos x\)
b. \(y = \sin \left( {{x^2} – 3x + 2} \right)\)
c. \(y = \cos \sqrt {2x + 1} \)
d. \(y = 2\sin 3x\cos 5x\)
e. \(y = {{\sin x + \cos x} \over {\sin x – \cos x}}\)
f. \(y = \sqrt {\cos 2x} \)
a. \(y’ = 5\cos x + 3\sin x\)
b. \(y’ = \left( {2x – 3} \right)\cos \left( {{x^2} – 3x + 2} \right)\)
c. \(y’ = {2 \over {2\sqrt {2x + 1} }}\left( { – \sin \sqrt {2x + 1} } \right) = {{ – \sin \sqrt {2x + 1} } \over {\sqrt {2x + 1} }}\)
d. \(y = \sin 8x – \sin 2x \Rightarrow y’ = 8\cos 8x – 2\cos 2x\)
e. \(y’ = {{\left( {\cos x – \sin x} \right)\left( {\sin x – \cos x} \right) – {{\left( {\cos x + \sin x} \right)}^2}} \over {{{\left( {\sin x – \cos x} \right)}^2}}} = {{ – 2} \over {{{\left( {\sin x – \cos x} \right)}^2}}}\)
f. \(y’ = {{ – 2\sin 2x} \over {2\sqrt {\cos 2x} }} = {-{\sin 2x} \over {\sqrt {\cos 2x} }}\)
Câu 30. Chứng minh rằng hàm số \(y = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\) có đạo hàm bằng 0.
Ta có:
\(\eqalign{ & y = \left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\left( {{{\sin }^4}x – {{\sin }^2}x{{\cos }^2}x + {{\cos }^4}x} \right) \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;+ 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr & = {\sin ^4}x + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x + {\cos ^4}x \cr & = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} = 1 \cr & \Rightarrow y’ = 0 \cr} \)
Câu 31. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a. \(y = \tan {{x + 1} \over 2}\)
b. \(y = \cot \sqrt {{x^2} + 1} \)
c. \(y = {\tan ^3}x + \cot 2x\)
d. \(y = \tan 3x – \cot 3x\)
e. \(y = \sqrt {1 + 2\tan x} \)
f. \(y = x\cot x\)
a. \(y’ = {1 \over {2{{\cos }^2}{{x + 1} \over 2}}}\)
b. \(y’ = {{ – x} \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}.{1 \over {{{\sin }^2}\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
c. \(y’ = {{3{{\tan }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} – {2 \over {{{\sin }^2}2x}}\)
Advertisements (Quảng cáo)
d. \(y’ = {3 \over {{{\cos }^2}3x}} + {3 \over {{{\sin }^2}3x}} = {{12} \over {{{\sin }^2}6x}}\)
e. \(y’ = {1 \over {{\sqrt {1 + 2\tan x}.{\cos }^2}x }}\)
f. \(y’ = \cot x – {x \over {{{\sin }^2}x}}\)
Câu 32. Chứng minh rằng :
a. Hàm số y = tanx thỏa mãn hệ thức \(y’ – {y^2} – 1 = 0\)
b. Hàm số y = cot2x thỏa mãn hệ thức \(y’ + 2{y^2} + 2 = 0\)
a. \(y’ = 1 + {\tan ^2}x.\) Do đó \(y’ – {y^2} – 1 = \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) – {\tan ^2}x – 1 = 0\)
b. \(y’ = – 2\left( {1 + {{\cot }^2}2x} \right)\). Do đó \(y’ + 2{y^2} + 2 = – 2\left( {1 + {{\cot }^2}2x} \right) + 2{\cot ^2}2x + 2 = 0\)
Câu 33. Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau :
a. \(y = {{\sin x} \over x} + {x \over {{\mathop{\rm sinx}\nolimits} }}\)
b. \(y = {{{{\sin }^2}x} \over {1 + \tan 2x}}\)
c. \(y = \tan \left( {\sin x} \right)\)
d. \(y = x\cot \left( {{x^2} – 1} \right)\)
e. \(y = {\cos ^2}\sqrt {{\pi \over 4} – 2x} \)
f. \(y = x\sqrt {\sin 3x} \)
a.
\(\eqalign{ & y’ = {{x\cos x – \sin x} \over {{x^2}}} + {{\sin x – x\cos x} \over {{{\sin }^2}x}} \cr & = \left( {x\cos x – {\mathop{\rm sinx}\nolimits} } \right)\left( {{1 \over {{x^2}}} – {1 \over {{{\sin }^2}x}}} \right) \cr} \)
b.
\(\eqalign{ & y’ = {{2\sin x\cos x\left( {1 + \tan 2x} \right) – {{\sin }^2}x.2\left( {1 + {{\tan }^2}2x} \right)} \over {{{\left( {1 + \tan 2x} \right)}^2}}} \cr & = {{\sin 2x} \over {\left( {1 + \tan 2x} \right)}} – {{2{{\sin }^2}x\left( {1 + {{\tan }^2}2x} \right)} \over {{{\left( {1 + \tan 2x} \right)}^2}}} \cr} \)
c. \(y’ = {{\cos x} \over {{{\cos }^2}\left( {\sin x} \right)}}\)
d.
\(\eqalign{ & y’ = \cot \left( {{x^2} – 1} \right) + x.{{ – 2x} \over {{{\sin }^2}\left( {{x^2} – 1} \right)}} \cr & = \cot \left( {{x^2} – 1} \right) – {{2{x^2}} \over {{{\sin }^2}\left( {{x^2} – 1} \right)}} \cr} \)
Advertisements (Quảng cáo)
e.
\(\eqalign{ & y = {1 \over 2}\left( {1 + \cos 2\sqrt {{\pi \over 4} – 2x} } \right) \cr & y’ = – {1 \over 2}. \sin 2\sqrt {{\pi \over 4} – 2x} .\,2{{ – 2} \over {2\sqrt {{\pi \over 4} – 2x} }} = {{2\sin \sqrt {\pi – 8x} } \over {\sqrt {\pi – 8x} }} \cr} \)
f. \(y’ = \sqrt {\sin 3x} + x.{{3\cos 3x} \over {2\sqrt {\sin 3x} }} = {{2\sin 3x + 3x\cos 3x} \over {2\sqrt {\sin 3x} }}\)
Câu 34. Tính \(f’\left( \pi \right)\) nếu \(f\left( x \right) = {{\sin x – x\cos x} \over {\cos x – x\sin x}}\)
Với mọi x sao cho \(\cos x – x\sin x \ne 0,\) ta có:
\(f’\left( x \right) = {{\left[ {\cos x – \left( {\cos x – x\sin x} \right)} \right]\left( {\cos x – x\sin x} \right) – \left( {\sin x – x\cos x} \right)\left[ { – \sin x – \left( {\sin x + x\cos x} \right)} \right]} \over {{{\left( {{\mathop{\rm cosx}\nolimits} – xsinx} \right)}^2}}}\)
Vì \(\sin \pi = 0,\cos \pi = – 1\) nên : \(f’\left( \pi \right) = {{\left[ { – 1 – \left( { – 1} \right)} \right].\left( { – 1} \right) – \pi .\pi } \over {{{\left( { – 1} \right)}^2}}} = – {\pi ^2}\)
Câu 35. Giải phương trình y’ = 0 trong mỗi trường hợp sau :
a. y = sin2x – 2cosx
b. y = 3sin2x + 4cos2x + 10x
c. \(y = {\cos ^2}x + \sin x\)
d. \(y = \tan x + \cot x\)
a. Với mọi \(x \in\mathbb R\), ta có:
\(y’ = 2\cos 2x + 2\sin x = 2\left( {1 – 2{{\sin }^2}x} \right) + 2\sin x\)
\(=-4{{\sin }^2}x+2\sin x+2\)
Vậy \(y’ = 0 \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x – \sin x – 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {\sin x = 1} \cr {\sin x = -{1 \over 2}} \cr } } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x = {\pi \over 2} + k2\pi } \cr {x = – {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {x = {{7\pi } \over 6} + k2\pi } \cr }\left( {k \in \mathbb Z} \right) } \right.\)
b. Với mọi \(x \in\mathbb R\), ta có: \(y’ = 6\cos 2x – 8\sin 2x + 10\)
Vậy \(y’ = 0 \Leftrightarrow 4\sin 2x – 3\cos 2x = 5\)
\( \Leftrightarrow {4 \over 5}\sin 2x – {3 \over 5}\cos 2x = 1\,\,\left( 1 \right)\)
Vì \({\left( {{4 \over 5}} \right)^2} + {\left( {{3 \over 5}} \right)^2} = 1\) nên có số \(α\) sao cho \(\cos \alpha = {4 \over 5}\,\text{ và }\,\sin \alpha = {3 \over 5}\)
Thay vào (1), ta được :
\(\eqalign{ & \sin 2x\cos \alpha – sin\alpha cos2x = 1 \cr & \Leftrightarrow \sin \left( {2x – \alpha } \right) = 1 \cr & \Leftrightarrow 2x – \alpha = {\pi \over 2} + k2\pi \cr & \Leftrightarrow x = {1 \over 2}\left( {\alpha + {\pi \over 2} + k2\pi } \right)\,\,\left( {k \in\mathbb Z} \right) \cr} \)
c. Với mọi \(x \in\mathbb R\), ta có: \(y’ = – 2\cos x{\mathop{\rm sinx}\nolimits} + cosx = cosx\left( {1 – 2\sin x} \right)\)
\(\eqalign{ & y’ = 0 \Leftrightarrow \cos x\left( {1 – 2\sin x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ { \cos x = 0 } \cr {1 – 2\sin x = 0 } \cr } } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x = {\pi \over 2} + k\pi} \cr {{\mathop{\rm sinx}\nolimits} = {1 \over 2} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x = {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {x = {{5\pi } \over 6} + k2\pi } \cr } } \right. } \cr } } \right. \cr} \)
Vậy \(x = {\pi \over 2} + k\pi ;x = {\pi \over 6} + k2\pi ;x = {{5\pi } \over 6} + k2\pi \left( {k \in\mathbb Z} \right)\)
d.
\(\eqalign{ & y’ = {1 \over {{{\cos }^2}x}} – {1 \over {{{\sin }^2}x}}\,\forall\,x \ne k{\pi \over 2} \cr & y’ = 0 \Leftrightarrow {1 \over {{{\cos }^2}x}} = {1 \over {{{\sin }^2}x}} \Leftrightarrow {\tan ^2}x = 1 \cr & \Leftrightarrow \tan x = \pm 1 \Leftrightarrow x = \pm {\pi \over 4} + k\pi ,k \in \mathbb Z \cr} \)
Câu 36. Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{\cos ^2}\left( {4x – 1} \right)\). Chứng minh rằng với mọi x ta có \(\left| {f’\left( x \right)} \right| \le 8.\) Tìm các giá trị của x để đẳng thức xảy ra.
Với mọi \(x \in\mathbb R\), ta có:
\(f’\left( x \right) = 2.2\cos \left( {4x – 1} \right).\left[ { – \sin \left( {4x – 1} \right)} \right]4 = – 8\sin 2\left( {4x – 1} \right)\)
Suy ra: \(\left| {f’\left( x \right)} \right| = 8\left| {\sin 2\left( {4x – 1} \right)} \right| \le 8\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :
\(\eqalign{ & \sin 2\left( {4x – 1} \right) = \pm 1 \cr & \Leftrightarrow 2\left( {4x – 1} \right) = {\pi \over 2} + k\pi \cr & \Leftrightarrow x = {\pi \over 16} + {{k\pi } \over 8} + {1 \over 4} \cr & \Leftrightarrow x = {1 \over {16}}\left( {\pi + 4 + k2\pi } \right)\,\,\left( {k \in\mathbb Z} \right) \cr} \)
Câu 37. Cho mạch điện như hình 5.7. Lúc đầu tụ điện có điện tích Q0. Khi đóng khóa K, tụ điện phóng điện qua cuộn dây ; điện tích q của tụ điện phụ thuộc vào thời gian t theo công thức \(q\left( t \right) = {Q_0}\sin \omega t.\) Trong đó, ω là tốc độ góc. Biết rằng cường độ I(t) của dòng điện tại thời điểm t được tính theo công thức \(I\left( t \right) = q’\left( t \right)\) Cho biết \({Q_0} = {10^{ – 8}}\,\text{ và }\,\omega = {10^6}\pi \,rad/s.\) Hãy tính cường độ của dòng điện tại thời điểm t = 6s (tính chính xác đến 10-5 mA)
Cường độ dòng điện tại thời điểm t là :
\(I\left( t \right) = q’\left( t \right) = {Q_0}\omega \cos \omega t\)
Khi \({Q_0} = {10^{ – 8}}C\,\text{ và }\,\omega = {10^6}\pi \,rad/s\) thì cường độ dòng điện tại thời điểm t = 6s là :
\(I\left( 6 \right) = {10^{ – 8}}{.10^6}\pi .\cos \left( {{{10}^6}\pi .6} \right) = {\pi \over {100}}\left( A \right) \approx 31,41593\,\left( {mA} \right)\)
Câu 38. Cho hàm số \(y = {\cos ^2}x + m\sin x\) (m là tham số) có đồ thị là (C). Tìm m trong mỗi trường hợp sau:
a. Tiếp tuyến của (C) tại điểm với hoành độ \(x = π\) có hệ số góc bằng 1
b. Hai tiếp tuyến của (C) tại các điểm có hoành độ \(x = – {\pi \over 4}\) và \(x = {\pi \over 3}\) song song hoặc trùng nhau.
Đặt \(f\left( x \right) = {\cos ^2}x + m\sin x,\) ta có :
\(f’\left( x \right) = – \sin 2x + m\cos x\)
a. Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ \(x = π\) là :
\(\eqalign{ & f’\left( \pi \right) = – \sin 2\pi + m\cos \pi = – m \cr & \text{Vậy}\,f’\left( \pi \right) = 1 \Leftrightarrow m = – 1 \cr} \)
b. Theo đề bài, ta có :
\(\eqalign{ & f’\left( { – {\pi \over 4}} \right) = f’\left( {{\pi \over 3}} \right) \cr & \Leftrightarrow – \sin \left( { – {\pi \over 2}} \right) + m\cos \left( { – {\pi \over 4}} \right) = – \sin {{2\pi } \over 3} + m\cos {\pi \over 3} \cr & \Leftrightarrow 1 + m{{\sqrt 2 } \over 2} = – {{\sqrt 3 } \over 2} + {m \over 2} \Leftrightarrow m = {{\sqrt 3 + 2} \over {1 – \sqrt 2 }} \cr} \)
