Bài 34: Cho số phức \({\rm{w}} = – {1 \over 2}\left( {1 + i\sqrt 3 } \right)\). Tìm các số nguyên dương n để \({{\rm{w}}^n}\) là số thực. Hỏi có chăng một số nguyên dương m để \({{\rm{w}}^m}\) là số ảo?
Giải
Ta có: \(\rm{w} = – {1 \over 2} – {{\sqrt 3 } \over 2}i = \cos {{4\pi } \over 3} + i\sin {{4\pi } \over 3}\)
Suy ra \({\rm{w}^n} = \cos {{4\pi n} \over 3} + i\sin {{4\pi n} \over 3}\)
\({\omega ^n}\) là số thực \( \Leftrightarrow \sin {{4n\pi } \over 3} = 0 \Leftrightarrow {{4n\pi } \over 3} = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb Z} \right)\)
\( \Leftrightarrow 4n = 3k \Leftrightarrow n\) chia hết cho 3 (n nguyên dương)
\({\rm{w} ^m}\) (m nguyên dương) là số ảo \( \Leftrightarrow \cos {{4m\pi } \over 3} = 0 \Leftrightarrow {{4m\pi } \over 3} = {\pi \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb Z} \right)\)
\( \Leftrightarrow 8m = 6k + 3\) (vô lí vì vế trái chẵn, vế phải lẻ).
Vậy không có số nguyên dương m để \({\rm{w} ^m}\) là số ảo.
Bài 35: Viết dạng lượng giác của số phức z và của các căn bậc hai của z cho mỗi mỗi trường hợp sau:
a) \(\left| z \right| = 3\) và một acgumen của iz là \({{5\pi } \over 4};\)
b) \(\left| z \right| = {1 \over 3}\) và một acgumen của \({{\overline z } \over {1 + i}}\) là \( – {{3\pi } \over 4}.\)
Giải
a) Ta có \(i = \cos {\pi \over 2} + i\sin {\pi \over 2}\) nên acgumen của i là \({\pi \over 2}\). Một acgumen của \(z = {{iz} \over i}\) là \({{5\pi } \over 4} – {\pi \over 2} = {{3\pi } \over 4}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy \(z = 3\left( {\cos {{3\pi } \over 4} + i\sin {{3\pi } \over 4}} \right)\), từ đó dạng lượng giác của các căn bậc hai của z là \(\sqrt 3 \left( {\cos {{3\pi } \over 8} + i\sin {{3\pi } \over 8}} \right)\) và \(-\sqrt 3 \left( {\cos {{3\pi } \over 8} + i\sin {{3\pi } \over 8}} \right)\)
\(=\sqrt 3 \left( {\cos {{11\pi } \over 8} + i\sin {{11\pi } \over 8}} \right)\).
b) Gọi \(\varphi \) là acgumen của z là -\(\varphi \) là một acgumen của \(\overline z \)
\(1 + i = \sqrt 2 \left( {{1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i} \right) = \sqrt 2 \left( {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right)\) có một acgumen là \({\pi \over 4}\) nên một acgumen của \({{\overline z } \over {1 + i}}\) là \( – \varphi – {\pi \over 4}\). Theo đề bài ta có:
\( – \varphi – {\pi \over 4} =- {{3\pi } \over 4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb Z} \right) \)
\(\Rightarrow \varphi = {\pi \over 2} + k2\pi \,\,\left( {k \in\mathbb Z} \right)\)
Vậy \(z = {1 \over 3}\left( {\cos {\pi \over 2} + i\sin {\pi \over 2}} \right)\)
Dạng lượng giác của căn bậc hai của z là:
Advertisements (Quảng cáo)
\({1 \over {\sqrt 3 }}\left( {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right)\) và \( – {1 \over {\sqrt 3 }}\left( {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right) = {1 \over {\sqrt 3 }}\left( {\cos {{5\pi } \over 4} + i\sin {{5\pi } \over 4}} \right)\)
Bài 36: Viết dạng lượng giác của các số phức sau:
a) \(1 – i\tan {\pi \over 5}\)
\(b)\,\tan {{5\pi } \over 8} + i;\)
\(c){\mkern 1mu} 1 – \cos \varphi – i\sin \varphi {\mkern 1mu} \left( {\varphi \in\mathbb R,{\mkern 1mu} \varphi \ne k2\pi ,{\mkern 1mu} k \in\mathbb Z} \right){\rm{ }}\)
Giải
\(a)\,1 – i\tan {\pi \over 5} = 1 – i{{\sin {\pi \over 5}} \over {\cos {\pi \over 5}}} \)
\(= {1 \over {\cos {\pi \over 5}}}\left( {\cos {\pi \over 5} – i\sin {\pi \over 5}} \right) \)
\(= {1 \over {\cos {\pi \over 5}}}\left[ {\cos \left( { – {\pi \over 5}} \right) + i\sin \left( { – {\pi \over 5}} \right)} \right]\)
\(b)\,\tan {{5\pi } \over 8} + i = {{ – 1} \over {\cos {{5\pi } \over 8}}}\left( { – \sin {{5\pi } \over 8} – i\cos {{5\pi } \over 8}} \right)\)(để ý rằng \(\cos {{5\pi } \over 8} < 0\))
\( = {1 \over {\cos {{3\pi } \over 8}}}\left( -{\cos {\pi \over 8} + i\sin {\pi \over 8}} \right) \)
\(= {1 \over {\cos {{3\pi } \over 8}}}\left( {\cos {{7\pi } \over 8} + i\sin {{7\pi } \over 8}} \right)\)
\(c)\,\,1 – \cos \varphi – i\sin \varphi = 2\sin^2 {\varphi \over 2} – 2i\sin {\varphi \over 2}\cos {\varphi \over 2}\)
\(= 2\sin {\varphi \over 2}\left[ {\sin {\varphi \over 2} – i\cos {\varphi \over 2}} \right]\)
Khi \(\sin {\varphi \over 2} > 0\) thì
\(\,1 – \cos \varphi – i\sin \varphi \)
\(= \left( {2\sin {\varphi \over 2}} \right)\left[ {\cos \left( {{\varphi \over 2} – {\pi \over 2}} \right) +i\sin\left( {{\varphi \over 2} – {\pi \over 2}} \right)} \right]\) là dạng lượng giác cần tìm.
Khi \(\sin {\varphi \over 2} < 0\) thì
\(\,1 – \cos \varphi – i\sin \varphi \)
\(= \left( { – 2\sin {\varphi \over 2}} \right)\left[ {\cos \left( {{\varphi \over 2} + {\pi \over 2}} \right) + i\sin \left( {{\varphi \over 2} + {\pi \over 2}} \right)} \right]\) là dạng lượng giác cần tìm.
Còn khi \(\sin {\varphi \over 2} = 0\) thì \(\,\,1 – \cos \varphi – i\sin \varphi = 0 = 0\left( {\cos \alpha + i\sin \alpha } \right)\,\,(\alpha \in\mathbb R\)tùy ý).
