Câu 70: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) có \(\widehat C = {45^0}\).
a) Tính diện tích hình quạt tròn AOB (ứng với cung nhỏ AB)
b) Tính diện tích hình viên phân AmB (ứng với cung nhỏ AB)
a) \(\widehat C = {45^0}\) (gt)
\( \Rightarrow \) sđ \(\overparen{AmB}\) \( = {90^0}\)
Diện tích hình quạt AOB là:
\(S = {{\pi {R^2}.90} \over {360}} = {{\pi {R^2}} \over 4}\) (đơn vị diện tích)
b) \(\widehat {AOB} = \) sđ \(\overparen{AmB}\) \( = {90^0}\)
\( \Rightarrow OA \bot OB\)
Diện tích tam giác OAB là: \(S = {1 \over 2}OA.OB = {{{R^2}} \over 2}\)
Diện tích hình viên phân AmB là:
Squạt AOB – S AOB = \({{\pi {R^2}} \over 4} – {{{R^2}} \over 2} = {{{R^2}\left( {\pi – 2} \right)} \over 4}\) (đơn vị diện tích)
Câu 71: Trong một tam giác đều ABC (h.13), vẽ những cung tròn đi qua tâm của tam giác và từng cặp đỉnh của nó. Cho biết cạnh tam giác bằng a, tính diện tích hình hoa thị gạch sọc.
Diện tích hình hoa thị bằng tổng diện tích 3 hình viên phân trừ diện tích tam giác đều ABC.
Gọi O là tâm của tam giác đều ABC
\( \Rightarrow OA = OB = OC\)
Vì ∆ABC đều nên AO, BO, CO là phân giác của các góc \(\widehat A,\widehat B,\widehat C\)
\(\widehat {OAC} = \widehat {OCA} = {{{{60}^0}} \over 2} = {30^0}\)
Advertisements (Quảng cáo)
\(\widehat {AOC} = {180^0} – \left( {{{30}^0} + {{30}^0}} \right) = {120^0}\)
\( \Rightarrow \) sđ \(\overparen{AOC}\) là tam giác đều nội tiếp trong đường tròn (O’; R)
Trong tam giác O’HA có \(\widehat {O’HA} = {90^0}\), \(\widehat {HO’A} = {60^0}\)
AH = R.sin \(\widehat {HO’A} = R\). sin 600 = \({{R\sqrt 3 } \over 2}\)
AC = 2AH = \(R\sqrt 3 \)
\( \Rightarrow R = {{AC} \over {\sqrt 3 }} = {a \over {\sqrt 3 }} = {{a\sqrt 3 } \over 3}\)
Squạt = \({{\pi {{\left( {{{a\sqrt 3 } \over 3}} \right)}^2}.120} \over {360}}\)
= \({{\pi {{{a^2}} \over 3}} \over 3} = {{\pi {a^2}} \over 9}\) (đơn vị diện tích)
∆O’HA có \(\widehat {O’HA} = {90^0}\); \(\widehat {HO’A} = {60^0}\)
O’A = \(R.\cos {60^0} = {{a\sqrt 3 } \over 3}.{1 \over 2} = {{a\sqrt 3 } \over 6}\)
S∆O’CA = \({1 \over 2}O’H.AC = {1 \over 2}.{{a\sqrt 3 } \over 6}.a = {{{a^2}\sqrt 3 } \over {12}}\) (đơn vị diện tích)
Sviên phân = Squạt – S∆O’CA = \({{\pi {a^2}} \over 9} – {{{a^2}\sqrt 3 } \over {12}} = {{4\pi {a^2} – 3{a^2}\sqrt 3 } \over {36}}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Diện tích tam giác đều ABC cạnh a: SABC = \({{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\) (đơn vị diện tích)
Diện tích hình hoa thị là:
S = 3Sviên phân – SABC = \(3.{{4\pi {R^2} – 3{a^2}\sqrt 3 } \over {36}} – {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\)
= \({{4\pi {a^2} – 3{a^2}\sqrt 3 } \over {12}} – {{3{a^2}\sqrt 3 } \over {12}}\)
= \({{4\pi {a^2} – 6{a^2}\sqrt 3 } \over {12}} = {{{a^2}} \over 6}\left( {2\pi – 3\sqrt 3 } \right)\)
Câu 72: Cho tam giác ABC vuông ở A và đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm O đường kính AB. Biết BH = 2cm và HC = 6cm. Tính:
a) Diện tích hình tròn (O).
b) Tổng diện tích hai hình viên phân AmH và BnH (ứng với các cung nhỏ).
c) Diện tích hình quạt tròn AOH (ứng với cung nhỏ AH).
a) ∆ABC có \(\widehat A = {90^0}\)
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
\(A{B^2} = BH.BC \Rightarrow A{B^2} = 2.\left( {2 + 6} \right) = 16\)
AB = 4 (cm)
Diện tích hình tròn tâm O là:
\(S = \pi {\left( {{{AB} \over 2}} \right)^2} = \pi {\left( {{4 \over 2}} \right)^2} = 4\pi \) (cm2)
b) Tổng diện tích hai hình viên phân AmH
Và BnH bằng diện tích nửa hình tròn tâm O trừ diện tích ∆AHB
Trong tam giác vuông ABC ta có:
\(A{H^2} = HB.HC = 2.6 = 12\)
AH = \(2\sqrt 3 \) (cm)
SAHB = \({1 \over 2}AH.BH = {1 \over 2}.2.2\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \) (cm2)
Tổng diện tích hai hình viên phân là:
\(S = 2\pi – 2\sqrt 3 = 2\left( {\pi – \sqrt 3 } \right)\) (cm2)
c) ∆BOH có OB = OH = BH = 2 cm
\( \Rightarrow \Delta BOH\) đều
\( \Rightarrow \widehat B = {60^0}\)
\(\widehat B = {1 \over 2}\) sđ \(\overparen{AmH}\) (tính chất góc nội tiếp)
\( \Rightarrow \) sđ \(\overparen{AmH}\) \( = 2\widehat B = {120^0}\)
Squạt AOH = \({{\pi {{.2}^2}.120} \over {360}} = {{4\pi } \over 3}\) (cm2)
