Câu III.1: Trang 114 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2
Cho tam giác đều ACB và ACD, cạnh a. Lần lượt lấy B và D làm tâm vẽ hai đường tròn bán kính a. Kẻ các đường kính ABE và ADF. Trên cung nhỏ CE của đường tròn tâm B lấy điểm M (không trùng với E và C). Đường thẳn CM cắt đường tròn tâm D tại điểm thứ hai là N. Hai đường thẳng EM và NF cắt nhau tại điểm T. Gọi H là giao điểm của AT và MN.
Chứng minh:
a) MNT là tam giác đều.
b) AT = 4AH.
a) Trong đường tròn (B) ta có:
\(\widehat {AMC} = {1 \over 2}\widehat {ABC}\) (hệ quả góc nội tiếp) mà \(\widehat {ABC} = 60^\circ \) (vì ∆ABC đều)
\( \Rightarrow \widehat {AMC} = 30^\circ \)
\(\widehat {AME} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (B))
\( \Rightarrow \widehat {AMT} = 90^\circ \)
\(\widehat {TMN} = \widehat {AMT} – \widehat {AMC} = 90^\circ – 30^\circ = 60^\circ \)
Trong đường tròn (D) ta có:
\(\widehat {ANC} = {1 \over 2}\widehat {ADC}\) (Hệ quả góc nội tiếp) mà \(\widehat {ADC} = 60^\circ \) (vì ∆ADC đều) \( \Rightarrow \widehat {ANC} = 30^\circ \)
\(\widehat {ANF} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (D))
\( \Rightarrow \widehat {ANC} + \widehat {CNF} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {CNF} = 90^\circ – \widehat {ANC} = 90^\circ – 30^\circ = 60^\circ \) hay \(\widehat {MNT} = 60^\circ \)
Vậy ∆TMN đều.
b) \(\widehat {AMC} = \widehat {ANC} = 30^\circ \)
\( \Rightarrow \Delta AMN\) cân tại A \( \Rightarrow \) AM = AN nên A nằm trên đường trung trực MN ∆TMN đều
\( \Rightarrow \) TM = TN nên T nằm trên đường trung trực MN
Advertisements (Quảng cáo)
Suy ra AT là đường trung trực của MN nên AT ⊥ MN
∆AHM có \(\widehat {AHM} = 90^\circ \)
\(AM = {{AH} \over {\sin M}} = {{AH} \over {\sin 30^\circ }} = {{AH} \over {{1 \over 2}}} = 2AH\) (1)
TH ⊥ MN nên TH là đường phân giác của \(\widehat T\) nên \(\widehat {MTA} = 30^\circ \)
∆AMT có \(\widehat {AMT} = 90^\circ \)
\(AT = {{AT} \over {\sin \widehat {MTA}}} = {{AM} \over {{1 \over 2}}} = 2AM\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AT = 4AH
Câu III.2: Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm M ở ngoài đường tròn đó. Qua điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB và cắt tuyến MCD với đường tròn (O), trong đó điểm C ở giữa hai điểm M, D. Đường thẳng qua điểm C và vuông góc với OA cắt AB tại H. Gọi I là trung điểm của dây CD. Chứng minh HI song song với AD.
MA ⊥ OA (tính chất tiếp tuyến)
\( \Rightarrow \widehat {MAO} = 90^\circ \)
MB ⊥ OB (tính chất tiếp tuyến)
\( \Rightarrow \widehat {MBO} = 90^\circ \)
Advertisements (Quảng cáo)
IC = ID (gt)
\( \Rightarrow \) OI ⊥ CD (đường kính đi qua điểm chính giữa của dây)
\( \Rightarrow \widehat {MIO} = 90^\circ \)
A, B, I nhìn MO cố định dưới một góc bằng 90º nên A, B, I nằm trên đường tròn bán kính MO.
\( \Rightarrow \widehat {AMI} = \widehat {ABI}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ AOI)
CH ⊥ \(\overparen{AO}\) (gt)
Suy ra: CH // MA
\(\widehat {AMI} = \widehat {HCI}\) (hai góc đồng vị)
Suy ra: \(\widehat {HCI} = \widehat {ABI}\) hay \(\widehat {HCI} = \widehat {HBI}\)
B và C cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ chứa đường HI tạo với HI một góc bằng nhau nên tứ giác BCHI nội tiếp.
\( \Rightarrow \widehat {CBH} = \widehat {CIH}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ \(\overparen{CH}\)) hay \(\widehat {CBA} = \widehat {CIH}\) (1)
Trong đường tròn (O) ta có:
\(\widehat {CBA} = \widehat {CDA}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ \(\overparen{AC}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {CIH} = \widehat {CDA}\) nên HI // AD (vì có cặp góc ở vị trí đồng vị bằng nhau)
(Trường hợp cát tuyến đi qua tâm ngũ giác MAOIB suy biến thành tứ giác MAOB chứng minh tương tự ta có HO // AD).
Mỗi bài III.3 đến III.12 sau đây đều có 4 phương án lựa chọn là (A), (B), (C), (D) nhưng chỉ có một trong số đó đúng. Hãy chỉ ra phương án mà em cho là đúng.
Câu III.3: Góc nội tiếp là góc
(A) có đỉnh nằm trên đường tròn.
(B) có hai cạnh là hai giây của đường tròn.
(C) có hai đỉnh là tâm đường tròn và có hai cạnh là hai bán kính.
(D) có hai cạnh là hai dây của đường tròn đó và chỉ có một đầu mút chung.
Chọn (D) có hai cạnh là hai dây của đường tròn đó và chỉ có một đầu mút chung.
Câu III.4
Một đường tròn là đường tròn nội tiếp nếu có:
(A) đi qua các đỉnh của một tam giác.
(B) tiếp xúc với các đường thẳng chứa các cạnh của một tam giác.
(C) tiếp xúc với các cạnh của một tam giác.
(D) nằm trong một tam giác.
Chọn (C) tiếp xúc với các cạnh của một tam giác.
