Câu 73: Cho đường tròn đường kính AB. Qua A và B kẻ hai tiếp tuyến của đường tròn đó. Gọi M là một điểm trên đường tròn. Các đường thẳng AM và BM cắt các tiếp tuyến trên lần lượt tại B’ và A’.
a) Chứng minh rằng \({\rm{AA}}’.BB’ = A{B^2}\)
b) Chứng minh rằng \(A'{A^2} = A’M.A’B\).
a) Xét ∆AA’B và ∆BB’A:
\(\widehat {A’AB} = \widehat {B’BA} = {90^0}\)
\(\widehat {BB’A} = \widehat {ABA’}\) (vì cùng phụ với \(\widehat {BAB’}\))
Suy ra: ∆AA’B đồng dạng ∆BAB’ (g.g)
\({{AA’} \over {BA}} = {{AB} \over {BB}} \Rightarrow AA’.BB’ = A{B^2}\)
b) \(\widehat {AMB} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\( \Rightarrow AM \bot A’B\)
∆AA’B vuông tại A. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
Advertisements (Quảng cáo)
\(AA{‘^2} = A’M.A’B\)
Câu 74: Cho lục giác ABCDEF. Chứng minh rằng đường chéo BF chia AD thành hai đoạn thẳng theo tỉ số 1: 3.
Lục giác đều ABCDEF nội tiếp trong đường tròn (O)
\(\overparen{AB}\) = \(\overparen{CB}\) = \(\overparen{CD}\) = \(\overparen{DE}\) = \(\overparen{EF}\) = \(\overparen{FA}\) = 600
\( \Rightarrow \) sđ \(\overparen{ABCD}\) = sđ \(\overparen{AB}\) + sđ \(\overparen{BC}\) + sđ \(\overparen{CD}\) = 1800
Nên AD là đường kính của đường tròn (O)
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có: OA = OB = OF = AB = AF = R
Nên tứ giác ABOF là hình thoi
Gọi giao điểm của AD và BF là H
Ta có: \(FB \bot OA\) (tính chất hình thoi)
\( \Rightarrow AH = HO = {{AO} \over 2} = {R \over 2}\)
\(HD = HO + OD = {R \over 2} + R = {{3R} \over 2}\)
Suy ra: \({{AH} \over {HD}} = {{{R \over 2}} \over {{{3R} \over 2}}} = {1 \over 3}\)
Câu 75: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Dựng điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho \(\widehat {AMB} = \widehat {BMC} = \widehat {CMA}\)
Giả sử M là điểm nằm trong ∆ABC sao cho \(\widehat {AMB} = \widehat {BMC} = \widehat {CMA}\)
Vì \(\widehat {AMB} + \widehat {BMC} + \widehat {CMA} = {360^0}\)
Thì điểm M nhìn các cạnh AB, BC, AC của ∆ABC dưới 1 góc bằng 1200 suy ra cách dựng:
– Dựng cung chứa góc 1200 vẽ trên đoạn BC.
– Dựng cung chứa góc 1200 vẽ trên đoạn AC
Giao điểm thứ hai của cung này là điểm M phải dựng
