Câu 63: Chứng minh:
a) \({{\left( {x\sqrt y + y\sqrt x } \right)\left( {\sqrt x – \sqrt y } \right)} \over {\sqrt {xy} }} = x – y\)
với x > 0 và y > 0;
b) \({{\sqrt {{x^3}} – 1} \over {\sqrt x – 1}} = x + \sqrt x + 1\) với \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\).
a) Ta có:
\({{\left( {x\sqrt y + y\sqrt x } \right)\left( {\sqrt x – \sqrt y } \right)} \over {\sqrt {xy} }} = {{\left( {\sqrt {{x^2}y} + \sqrt {x{y^2}} } \right)\left( {\sqrt x – \sqrt y } \right)} \over {\sqrt {xy} }}\)
\( = {{\sqrt {xy} \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x – \sqrt y } \right)} \over {\sqrt {xy} }} = \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x – \sqrt y } \right)\)
\( = {\left( {\sqrt x } \right)^2} – {\left( {\sqrt y } \right)^2} = x – y\)
(với x > 0 và y > 0)
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
b) Vì x > 0 nên \(\sqrt {{x^3}} = {\left( {\sqrt x } \right)^3}\)
Ta có:
\({{\sqrt {{x^3}} – 1} \over {\sqrt x – 1}} = {{{{\left( {\sqrt x } \right)}^3} – {1^3}} \over {\sqrt x – 1}} = {{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)} \over {\sqrt x – 1}}\)
\( = x + \sqrt x + 1$ với \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\).
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
Câu 64:
a) Chứng minh:
Advertisements (Quảng cáo)
\(x + 2\sqrt {2x – 4} = {\left( {\sqrt 2 + \sqrt {x – 2} } \right)^2}\) với \(x \ge 2\);
b) Rút gọn biểu thức:
\(\sqrt {x + 2\sqrt {2x – 4} } + \sqrt {x – 2\sqrt {2x – 4} } \) với \(x \ge 2\).
a) Ta có:
\(\eqalign{
& x + 2\sqrt {2x – 4} = x + 2\sqrt {2\left( {x – 2} \right)} \cr
& = 2 + 2\sqrt 2 .\sqrt {x – 2} + x – 2 \cr} \)
\( = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + 2.\sqrt 2 .\sqrt {x – 2} + {\left( {\sqrt {x – 2} } \right)^2}\)
\( = {\left( {\sqrt 2 + \sqrt {x – 2} } \right)^2}\) (với \(x \ge 2\))
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
b) Ta có:
Advertisements (Quảng cáo)
\(\sqrt {x + 2\sqrt {2x – 4} } + \sqrt {x – 2\sqrt {2x – 4} } \)
\( = \sqrt {2 + 2\sqrt 2 .\sqrt {x – 2} + x – 2} + \sqrt {2 – 2\sqrt 2 .\sqrt {x – 2} + x – 2} \)
\( = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt {x – 2} } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 – \sqrt x – 2} \right)}^2}} \)
\( = \left| {\sqrt 2 + \sqrt {x – 2} } \right| + \left| {\sqrt 2 – \sqrt {x – 2} } \right|\)
\( = \sqrt 2 + \sqrt {x – 2} + \left| {\sqrt 2 – \sqrt {x – 2} } \right|\)
– Nếu \(\sqrt 2 – \sqrt {x – 2} \ge 0\) thì
\(\eqalign{
& \sqrt {x – 2} \le \sqrt 2 \Leftrightarrow x – 2 \le 2 \cr
& \Leftrightarrow x – 2 \le 2 \Leftrightarrow x \le 4 \cr} \)
Với \(2 \le x \le 4\) thì \(\left| {\sqrt 2 – \sqrt {x – 2} } \right| = \sqrt 2 – \sqrt {x – 2} \)
Ta có: \(\sqrt 2 + \sqrt {x – 2} + \sqrt 2 – \sqrt {x – 2} = 2\sqrt 2 \)
– Nếu \(\sqrt 2 – \sqrt {x – 2} < 0\) thì
\(\sqrt {x – 2} > \sqrt 2 \Leftrightarrow x – 2 > 2 \Leftrightarrow x > 4\)
Với x > 4 thì \(\left| {\sqrt 2 – \sqrt {x – 2} } \right| = \sqrt {x – 2} – \sqrt 2 \)
Ta có: \(\sqrt 2 + \sqrt {x – 2} + \sqrt {x – 2} – \sqrt 2 = 2\sqrt {x – 2} \)
Câu 65: Tìm x, biết:
a) \(\sqrt {25x} = 35\);
b) \(\sqrt {4x} \le 162\);
c) \(3\sqrt x = \sqrt {12} \);
d) \(2\sqrt x \ge 10\).
\(\eqalign{
& a)\,\sqrt {25x} = 35 \Leftrightarrow 5\sqrt x = 35 \cr
& \Leftrightarrow \sqrt x = 7 \Leftrightarrow x = 49 \cr} \)
\(\eqalign{
& b)\,\sqrt {4x} \le 162 \Leftrightarrow 2\sqrt x \le 162 \cr
& \Leftrightarrow \sqrt x \le 81 \Leftrightarrow x \le 6561 \cr} \)
Suy ra : \(0 \le x \le 6561\)
\(\eqalign{
& b)\,3\sqrt x = 12 \Leftrightarrow 3\sqrt x = 2\sqrt 3 \cr
& \Leftrightarrow \sqrt x = {2 \over 3}\sqrt 3 \Leftrightarrow x = {\left( {{2 \over 3}\sqrt 3 } \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow x = – {4 \over 3} \cr} \)
d) \(2\sqrt x \ge \sqrt {10} \Leftrightarrow \sqrt x \ge {{\sqrt {10} } \over 2} \Leftrightarrow x = {5 \over 2}\)
