Câu 85: Cho biểu thức
\(P = {{\sqrt x + 1} \over {\sqrt x – 2}} + {{2\sqrt x } \over {\sqrt x + 2}} + {{2 + 5\sqrt x } \over {x – 4}}\)
a) Rút gọn P với \(x \ge 0\) và \(x \ne 4.\)
b) Tìm x để P = 2.
a) Điều kiện: \(x \ge 0,x \ne 4\)
Ta có:
\(P = {{\sqrt x + 1} \over {\sqrt x – 2}} + {{2\sqrt x } \over {\sqrt x + 2}} + {{2 + 5\sqrt x } \over {x – 4}}\)
\( = {{(\sqrt x + 1)(\sqrt x + 2)} \over {{{(\sqrt x )}^2} – {2^2}}} + {{2\sqrt x (\sqrt x – 2)} \over {{{(\sqrt x )}^2} – {2^2}}} – {{2 + 5\sqrt x } \over {x – 4}}\)
\( = {{x + 2\sqrt x + \sqrt x + 2} \over {x – 4}} + {{2x – 4\sqrt x } \over {x – 4}} – {{2 + 5\sqrt x } \over {x – 4}}\)
\( = {{x + 3\sqrt x + 2 + 2x – 4\sqrt x – 2 – 5\sqrt x } \over {x – 4}}\)
\( = {{3x – 6\sqrt x } \over {x – 4}} = {{3\sqrt x (\sqrt x – 2)} \over {(\sqrt x + 2)(\sqrt x – 2)}} = {{3\sqrt x } \over {\sqrt x + 2}}\)
b) Ta có: P = 2 \(\eqalign{
& \Leftrightarrow {{3\sqrt x } \over {\sqrt x + 2}} = 2 \cr
& \Leftrightarrow 3\sqrt x = 2(\sqrt x + 2) \Leftrightarrow 3\sqrt x = 2\sqrt x + 4 \cr} \)
\( \Leftrightarrow \sqrt x = 4 \Leftrightarrow x = 16\)
Câu 86: Cho biểu thức
\(Q = \left( {{1 \over {\sqrt a – 1}} – {1 \over {\sqrt a }}} \right):\left( {{{\sqrt a + 1} \over {\sqrt a – 2}} – {{\sqrt a + 2} \over {\sqrt a – 1}}} \right)\)
a) Rút gọn Q với \(a > 0,a \ne 4\) và \(a \ne 1\).
Advertisements (Quảng cáo)
b) Tìm giá trị của a để Q dương.
a) Ta có:
\(Q = \left( {{1 \over {\sqrt a – 1}} – {1 \over {\sqrt a }}} \right):\left( {{{\sqrt a + 1} \over {\sqrt a – 2}} – {{\sqrt a + 2} \over {\sqrt a – 1}}} \right)\)
\( = {{\sqrt a – \left( {\sqrt a – 1} \right)} \over {\sqrt a \left( {\sqrt a – 1} \right)}}:{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a – 1} \right) – \left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a – 2} \right)} \over {\left( {\sqrt a – 2} \right)\left( {\sqrt a – 1} \right)}}\)
\( = {1 \over {\sqrt a \left( {\sqrt a – 1} \right)}}:{{a – 1 – 1 + 4} \over {\left( {\sqrt a – 2} \right)\left( {\sqrt a – 1} \right)}}\)
\( = {1 \over {\sqrt a \left( {\sqrt a – 1} \right)}}.{{\left( {\sqrt a – 2} \right)\left( {\sqrt {a – 1} } \right)} \over 3}\)
\( = {{\sqrt a – 2} \over {3\sqrt a }}\) (với \(a > 0,a \ne 4\) và \(a \ne 1\))
b) Ta có: \(a \ge 0\) nên \(\sqrt a > 0\)
Khi đó: \(Q = {{\sqrt a – 2} \over {3\sqrt a }}\) dương khi \(\sqrt a – 2 > 0\)
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có: \(\sqrt a – 2 > 0 \Leftrightarrow \sqrt a > 2 \Leftrightarrow a > 4\)
Vậy khi a>4 thì Q>0
Câu 87: Với ba số a, b, c không âm, chứng minh bất đẳng thức
\(a + b + c \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \)
Hãy mở rộng kết quả cho trường hợp bốn số, năm số không âm.
Vì a, b và c không âm nên và $\sqrt c $ tồn tại.
Ta có: \({\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)^2} \ge 0\) suy ra:
\(\eqalign{
& a + b – 2\sqrt {ab} \ge 0 \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \cr
& \Leftrightarrow {{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \,\,(1) \cr} \)
\({\left( {\sqrt b – \sqrt c } \right)^2} \ge 0\) suy ra:
\(\eqalign{
& b + c – 2\sqrt {bc} \ge 0 \Leftrightarrow b + c \ge 2\sqrt {bc} \cr
& \Leftrightarrow {{b + c} \over 2} \ge \sqrt {bc} \,\,(2) \cr} \)
\({\left( {\sqrt c – \sqrt a } \right)^2} \ge 0\) suy ra:
\(\eqalign{
& c + a – 2\sqrt {ca} \ge 0 \Leftrightarrow c + a \ge 2\sqrt {ca} \cr
& \Leftrightarrow {{c + a} \over 2} \ge \sqrt {ca} \,\,(3) \cr} \)
Cộng từng vế các đẳng thức (1), (2) và (3), ta có:
\({{a + b} \over 2} + {{b + c} \over 2} + {{c + a} \over 2} \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \)
\( \Leftrightarrow a + b + c \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \)
– Với bốn số a, b, c, d không âm, ta có:
\(a + b + c + d \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {cd} + \sqrt {da} \)
– Với năm số a, b, c, d, e không âm, ta có:
\(a + b + c + d + e \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {cd} + \sqrt {de} + \sqrt {ea} \)
