Câu 66: Tìm x, biết:
a) \(\sqrt {{x^2} – 9} – 3\sqrt {x – 3} = 0\);
b) \(\sqrt {{x^2} – 4} – 2\sqrt {x + 2} = 0\).
a) Điều kiện: \(x – 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3\)
Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{x^2} – 9} – 3\sqrt {x – 3} = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sqrt {(x + 3)(x – 3)} – 3\sqrt {x – 3} \cr} \)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \sqrt {x – 3} (\sqrt {x + 3} – 3) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sqrt {x – 3} = 0 \cr} \) hoặc \(\sqrt {x + 3} – 3 = 0\)
+) \(\sqrt {x – 3} = 0 \Leftrightarrow x – 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\) (thỏa mãn)
+) \(\eqalign{
& \sqrt {x + 3} – 3 = 0 \Leftrightarrow \sqrt {x + 3} = 3 \cr
& \Leftrightarrow x + 3 = 9 \Leftrightarrow x = 6 \cr} \) (thỏa mãn)
Vậy x = 3 và x = 6.
Advertisements (Quảng cáo)
b) Điều kiện: \(x \ge 2\) hoặc x = -2
Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{x^2} – 4} – 2\sqrt {x + 2} = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sqrt {(x + 2)(x – 2)} – 2\sqrt {x + 2} = 0 \cr} \)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \sqrt {x + 2} (\sqrt {x + 2} – 2) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sqrt {x + 2} = 0 \cr} $$ hoặc $$\sqrt {x – 2} – 2 = 0\)
+) \(\eqalign{
& \sqrt {x + 2} = 0 \Leftrightarrow x + 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow x = – 2 \cr} \) (thỏa mãn)
+) \(\eqalign{
& \sqrt {x – 2} – 2 = 0 \Leftrightarrow \sqrt {x – 2} = 2 \cr
& \Leftrightarrow x – 2 = 4 \Leftrightarrow x = 6 \cr} \) (thỏa mãn)
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy x = -2 và x = 6.
Câu 67: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, chứng minh:
a) Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất.
b) Trong các hinh chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi bé nhất.
Với hai số không âm a và b, bất đẳng thức Cô-si cho hai số đó là:
\({{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \)
a) Các hình chữ nhật có cùng chu vi thì \({{a + b} \over 2}\) không đổi. Từ bất đẳng thức:
\({{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \) và \({{a + b} \over 2}\) không đổi suy ra \({{a + b} \over 2}\) \(\sqrt {ab} \) đạt giá trị lớn nhất bằng \({{a + b} \over 2}\) khi a = b.
Điều này cho thấy trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện thì hình vuông có diện tích lớn nhất.
b) Các hình chữ nhật có cùng diện tích thì ab không đổi. Từ bất đẳng thức:
\({{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \) và ab không đổi suy ra \({{a + b} \over 2}\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\sqrt {ab} \) khi a = b.
Điều này cho thấy trong các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi bé nhất.
