Câu 103: Chứng minh
\(x – \sqrt x + 1 = {\left( {\sqrt x – {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4}\) với x > 0
Từ đó, cho biết biểu thức \({1 \over {x – \sqrt x + 1}}\) có giá trị lớn nhất là bao nhiêu ?
Giá trị đó đạt được khi x bằng bao nhiêu ?
Ta có: \({\left( {\sqrt x – {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} = x – \sqrt x + {1 \over 4} + {3 \over 4} = x – \sqrt x + 1\)
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
Ta có: \({1 \over {x – \sqrt x + 1}} = {1 \over {{{\left( {\sqrt x – {1 \over 2}} \right)}^2} + {3 \over 4}}}\) có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \({\left( {\sqrt x – {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4}\) bé nhất.
Vì \({\left( {\sqrt x – {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0\) nên \({\left( {\sqrt x – {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} \ge {3 \over 4}\)
Ta có \({\left( {\sqrt x – {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} \ge {3 \over 4}\) bé nhất bằng \({3 \over 4}\)
Khi đó: \({1 \over {x – \sqrt x + 1}} = {1 \over {{3 \over 4}}} = {4 \over 3} \Rightarrow \sqrt x – {1 \over 2} = 0 \Rightarrow x = {1 \over 4}\)
Vậy \({1 \over {x – \sqrt x + 1}}\) có giá trị lớn nhất bằng \({4 \over 3}\) khi \(x = {1 \over 4}\).
Câu 104: Tìm số x nguyên để biểu thức \({{\sqrt x + 1} \over {\sqrt x – 3}}\) nhận giá trị nguyên.
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có:
\(\eqalign{
& {{\sqrt x + 1} \over {\sqrt x – 3}} = {{\sqrt x – 3 + 4} \over {\sqrt x – 3}} \cr
& = 1 + {4 \over {\sqrt x – 3}} \cr}\)
Để \(1 + {4 \over {\sqrt x – 3}}\) nhận giá trị nguyên thì \({4 \over {\sqrt x – 3}}\) phải có giá trị nguyên.
Vì x nguyên nên \(\sqrt x \) là số nguyên hoặc số vô tỉ.
*Nếu \(\sqrt x \) là số vô tỉ thì \(\sqrt x – 3\) là số vô tỉ nên \({4 \over {\sqrt x – 3}}\) không có giá trị nguyên.
Trường hợp này không có giá trị nào của x để biểu thức nhận giá trị nguyên.
*Nếu \(\sqrt x \) là số nguyên thì \(\sqrt x – 3\) là số nguyên. Vậy để \({4 \over {\sqrt x – 3}}\) nguyên thì \(\sqrt x – 3\) phải là ước của 4.
Advertisements (Quảng cáo)
Đồng thời \(x \ge 0\) suy ra: \(\sqrt x \ge 0\)
Ta có: Ư(4) = \({\rm{\{ }} – 4; – 2; – 1;1;2;4{\rm{\} }}\)
Suy ra: \(\sqrt x – 3 = – 4 \Rightarrow \sqrt x = – 1\) (loại)
\(\eqalign{
& \sqrt x – 3 = – 2 \Rightarrow \sqrt x = 1 \Rightarrow x = 1 \cr
& \sqrt x – 3 = – 1 \Rightarrow \sqrt x = 2 \Rightarrow x = 4 \cr
& \sqrt x – 3 = – 1 \Rightarrow \sqrt x = 4 \Rightarrow x = 16 \cr
& \sqrt x – 3 = 1 \Rightarrow \sqrt x = 4 \Rightarrow x = 16 \cr
& \sqrt x – 3 = 2 \Rightarrow \sqrt x = 5 \Rightarrow x = 25 \cr
& \sqrt x – 3 = 4 \Rightarrow \sqrt x = 7 \Rightarrow x = 49 \cr} \)
Vậy với \(x \in {\rm{\{ }}1;4;16;25;49\} \) thì biểu thức \({{\sqrt x + 1} \over {\sqrt x – 3}}\) nhận giá trị nguyên
Câu 105: Chứng minh các đẳng thức (với a, b không âm và a ≠b )
a) \({{\sqrt a + \sqrt b } \over {2\sqrt a – 2\sqrt b }} – {{\sqrt a – \sqrt b } \over {2\sqrt a + 2\sqrt b }} – {{2b} \over {b – a}} = {{2\sqrt b } \over {\sqrt a – \sqrt b }}\);
b) \(\left( {{{a\sqrt a + b\sqrt b } \over {\sqrt a + \sqrt b }} – \sqrt {ab} } \right){\left( {{{\sqrt a + \sqrt b } \over {a – b}}} \right)^2} = 1.\)
a) Ta có:
\(\eqalign{
& {{\sqrt a + \sqrt b } \over {2\sqrt a – 2\sqrt b }} – {{\sqrt a – \sqrt b } \over {2\sqrt a + 2\sqrt b }} – {{2b} \over {b – a}} \cr
& = {{\sqrt a + \sqrt b } \over {2\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)}} – {{\sqrt a – \sqrt b } \over {2\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} – {{2b} \over {b – a}} \cr
& = {{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2} – {{\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)}^2}} \over {2\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} + {{2b} \over {\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} \cr
& = {{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2} – {{\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)}^2} + 4b} \over {2\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} \cr
& = {{a + 2\sqrt {ab} + b – a + 2\sqrt {ab} – b + 4b} \over {2\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} \cr
& = {{4\sqrt {ab} + 4b} \over {2\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} \cr
& = {{4\sqrt b \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)} \over {2\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} \cr
& = {{2\sqrt b } \over {\sqrt a – \sqrt b }} \cr} \)
(với a, b không âm và a ≠b )
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
b. Ta có:
\(\eqalign{
& \left( {{{a\sqrt a + b\sqrt b } \over {\sqrt a + \sqrt b }} – \sqrt {ab} } \right){\left( {{{\sqrt a + \sqrt b } \over {a – b}}} \right)^2} \cr
& = \left( {{{\sqrt {{a^3}} + \sqrt {{b^3}} } \over {\sqrt a + \sqrt b }} – \sqrt {ab} } \right){\left[ {{{\sqrt a + \sqrt b } \over {\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)}}} \right]^2} \cr
& = \left[ {{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt {{a^2}} – \sqrt {ab} + \sqrt {{b^2}} } \right)} \over {\sqrt a + \sqrt b }} – \sqrt {ab} } \right]{\left( {{1 \over {\sqrt a – \sqrt b }}} \right)^2} \cr
& = \left( {\sqrt {{a^2}} – \sqrt {ab} + \sqrt {{b^2}} – \sqrt {ab} } \right){1 \over {{{\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)}^2}}} \cr
& = {{{{\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)}^2}} \over {{{\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)}^2}}} = 1 \cr} \)
(với a, b không âm và a ≠b )
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
