Câu 45: Giải các phương trình
a) \({\left( {x + 2} \right)^2} – 3x – 5 = \left( {1 – x} \right)\left( {1 + x} \right)\)
b) \({\left( {x – 1} \right)^3} + 2x = {x^3} – {x^2} – 2x + 1\)
c) \(x\left( {{x^2} – 6} \right) – {\left( {x – 2} \right)^2} = {\left( {x + 1} \right)^3}\)
d) \({\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {x – 2} \right)^2} + \left( {x + 7} \right)\left( {x – 7} \right) = 12x – 23\)
a)
\(\eqalign{
& {\left( {x + 2} \right)^2} – 3x – 5 = \left( {1 – x} \right)\left( {1 + x} \right) \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 – 3x – 5 = 1 – {x^2} \cr
& \Leftrightarrow 2{x^2} + x – 2 = 0 \cr
& \Delta = 1 – 4.2.\left( { – 2} \right) = 1 + 16 = 17 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {17} \cr
& {x_1} = {{ – 1 + \sqrt {17} } \over {2.2}} = {{\sqrt {17} – 1} \over 4} \cr
& {x_2} = {{ – 1 – \sqrt {17} } \over {2.2}} = – {{1 + \sqrt {17} } \over 4} \cr} \)
b)
\(\eqalign{
& {\left( {x – 1} \right)^3} + 2x = {x^3} – {x^2} – 2x + 1 \cr
& \Leftrightarrow {x^3} – 3{x^2} + 3x – 1 + 2x = {x^3} – {x^2} – 2x + 1 \cr
& \Leftrightarrow 2{x^2} – 7x + 2 = 0 \cr
& \Delta = {\left( { – 7} \right)^2} – 4.2.2 = 49 – 16 = 33 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {33} \cr
& {x_1} = {{7 + \sqrt {33} } \over {2.2}} = {{7 + \sqrt {33} } \over 4} \cr
& {x_2} = {{7 – \sqrt {33} } \over {2.2}} = {{7 – \sqrt {33} } \over 4} \cr} \)
c)
\(\eqalign{
& x\left( {{x^2} – 6} \right) – {\left( {x – 2} \right)^2} = {\left( {x + 1} \right)^3} \cr
& \Leftrightarrow {x^3} – 6x – {x^2} + 4x – 4 = {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 \cr
& \Leftrightarrow 4{x^2} + 5x + 5 = 0 \cr
& \Delta = {5^2} – 4.4.5 = 25 – 80 = – 55 < 0 \cr} \)
Phương trình vô nghiệm.
d)
\(\eqalign{
& {\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {x – 2} \right)^2} + \left( {x + 7} \right)\left( {x – 7} \right) = 12x – 23 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 10x + 25 + {x^2} – 4x + 4 + {x^2} – 49 – 12x + 23 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3{x^2} – 6x + 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 2x + 1 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {1^2} – 1.1 = 1 – 1 = 0 \cr} \)
Phương trình có nghiệm số kép: \({x_1} = {x_2} = 1\)
Câu 46: Giải các phương trình
a) \({{12} \over {x – 1}} – {8 \over {x + 1}} = 1\)
b) \({{16} \over {x – 3}} + {{30} \over {1 – x}} = 3\)
c) \({{{x^2} – 3x + 5} \over {\left( {x – 3} \right)\left( {x + 2} \right)}} = {1 \over {x – 3}}\)
d) \({{2x} \over {x – 2}} – {x \over {x + 4}} = {{8x + 8} \over {\left( {x – 2} \right)\left( {x + 4} \right)}}\)
e) \({{{x^3} + 7{x^2} + 6x – 30} \over {{x^3} – 1}} = {{{x^2} – x + 16} \over {{x^2} + x + 1}}\)
f) \({{{x^2} + 9x – 1} \over {{x^4} – 1}} = {{17} \over {{x^3} + {x^2} + x + 1}}\)
a) \({{12} \over {x – 1}} – {8 \over {x + 1}} = 1\) điều kiện: \(x \ne \pm 1\)
\(\eqalign{
& \Rightarrow 12\left( {x + 1} \right) – 8\left( {x – 1} \right) = \left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right) \cr
& \Leftrightarrow 12x + 12 – 8x + 8 = {x^2} – 1 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 4x – 21 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {\left( { – 2} \right)^2} – 1.\left( { – 21} \right) = 4 + 21 = 25 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt {25} = 5 \cr
& {x_1} = {{2 + 5} \over 1} = 7 \cr
& {x_2} = {{2 – 5} \over 1} = – 3 \cr} \)
Giá trị x = 7; x = -3 thỏa mãn điều kiện.
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 7;{x_2} = – 3\)
b) \({{16} \over {x – 3}} + {{30} \over {1 – x}} = 3\) điều kiện: $x \ne 3;x \ne 1\)
\(\eqalign{
& \Rightarrow 16\left( {1 – x} \right) + 30\left( {x – 3} \right) = 3\left( {x – 3} \right)\left( {1 – x} \right) \cr
& \Leftrightarrow 16 – 16x + 30x – 90 = 3x – 3{x^2} – 9 + 9x \cr
& \Leftrightarrow 3{x^2} + 2x – 65 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {1^2} – 3.\left( { – 65} \right) = 1 + 195 = 196 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt {196} = 14 \cr
& {x_1} = {{ – 1 + 14} \over 3} = {{13} \over 3} \cr
& {x_2} = {{ – 1 – 14} \over 3} = – 5 \cr} \)
Advertisements (Quảng cáo)
Giá trị \(x = {{13} \over 3}\) và x = -5 thỏa mãn điều kiện
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {{13} \over 3};{x_2} = – 5\)
c) \({{{x^2} – 3x + 5} \over {\left( {x – 3} \right)\left( {x + 2} \right)}} = {1 \over {x – 3}}\) điều kiện: \(x \ne 3;x \ne – 2\)
\( \Rightarrow {x^2} – 3x + 5 = x + 2 \Leftrightarrow {x^2} – 4x + 3 = 0\)
Phương trình có dạng:
\(\eqalign{
& a + b + c = 0 \cr
& 1 + \left( { – 4} \right) + 3 = 0 \cr
& {x_1} = 1;{x_2} = 3 \cr} \)
Giá trị x = 3 không thỏa mãn điều kiện: loại
Vậy phương trình có một nghiệm x = 1
d) \({{2x} \over {x – 2}} – {x \over {x + 4}} = {{8x + 8} \over {\left( {x – 2} \right)\left( {x + 4} \right)}}\) điều kiện: \(x \ne 2;x \ne – 4\)
\(\eqalign{
& \Rightarrow 2x\left( {x + 4} \right) – x\left( {x – 2} \right) = 8x + 8 \cr
& \Leftrightarrow 2{x^2} + 8x – {x^2} + 2x = 8x + 8 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 2x – 8 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {1^2} – 1.\left( { – 8} \right) = 1 + 8 = 9 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt 9 = 3 \cr
& {x_1} = {{ – 1 + 3} \over 1} = 2 \cr
& {x_2} = {{ – 1 – 3} \over 1} = – 4 \cr} \)
Cả hai giá trị x = 2 và x = -4 không thỏa mãn điều kiện: loại
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
e) \({{{x^3} + 7{x^2} + 6x – 30} \over {{x^3} – 1}} = {{{x^2} – x + 16} \over {{x^2} + x + 1}}\) điều kiện \(x \ne 1\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {{{x^3} + 7{x^2} + 6x – 30} \over {\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = {{{x^2} – x + 16} \over {{x^2} + x + 1}} \cr
& \Rightarrow {x^3} + 7{x^2} + 6x – 30 = \left( {{x^2} – x + 16} \right)\left( {x – 1} \right) \cr
& \Leftrightarrow {x^3} + 7{x^2} + 6x – 30 = {x^3} – {x^2} + 16x – {x^2} + x – 16 \cr
& \Leftrightarrow 9{x^2} – 11x – 14 = 0 \cr
& \Delta = {\left( { – 11} \right)^2} – 4.9.\left( { – 14} \right) = 625 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {625} = 25 \cr
& {x_1} = {{11 + 25} \over {2.9}} = {{36} \over {18}} = 2 \cr
& {x_2} = {{11 – 25} \over {2.9}} = {{ – 14} \over {18}} = – {7 \over 9} \cr} \)
Giá trị x = 2 và \(x = – {7 \over 9}\) thỏa mãn điều kiện
Vậy phương trình có hai nghiệm \({x_1} = 2;{x_2} = – {7 \over 9}\)
f) \({{{x^2} + 9x – 1} \over {{x^4} – 1}} = {{17} \over {{x^3} + {x^2} + x + 1}}\)
\( \Leftrightarrow {{{x^2} + 9x – 1} \over {\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} – 1} \right)}} = {{17} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}\) điều kiện \(x \ne \pm 1\)
\(\eqalign{
& \Rightarrow {x^2} + 9x – 1 = 17\left( {x – 1} \right) \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 9x – 1 = 17x – 17 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 9x – 17x – 1 + 17 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 8x + 16 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {\left( { – 4} \right)^2} – 1.16 = 16 – 16 = 0 \cr} \)
Phương trình có nghiệm số kép: \({x_1} = {x_2} = 4\)
Advertisements (Quảng cáo)
Giá trị x = 4 thỏa mãn điều kiện.
Vậy phương trình có 1 nghiệm: x = 4
Câu 47: Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích
a) \(3{x^2} + 6{x^2} – 4x = 0\)
b) \({\left( {x + 1} \right)^3} – x + 1 = \left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right)\)
c) \({\left( {{x^2} + x + 1} \right)^2} = {\left( {4x – 1} \right)^2}\)
d) \({\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)^2} = 6\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\)
e) \({\left( {2{x^2} + 3} \right)^2} – 10{x^3} – 15x = 0\)
f) \({x^3} – 5{x^2} – x + 5 = 0\)
Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích.
a) \(3{x^3} + 6{x^2} – 4x = 0 \Leftrightarrow x\left( {3{x^2} + 6x – 4} \right) = 0\)
x = 0 hoặc \(3{x^2} + 6x – 4 = 0\)
\(\eqalign{
& 3{x^2} + 6x – 4 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {3^2} – 3.\left( { – 4} \right) = 9 + 12 = 21 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt {21} \cr
& {x_1} = {{ – 3 + \sqrt {21} } \over 3};{x_2} = {{ – 3 – \sqrt {21} } \over 3} \cr} \)
Vậy phương trình có 3 nghiệm: \({x_1} = 0;{x_2} = {{ – 3 + \sqrt {21} } \over 3};{x_3} = {{ – 3 – \sqrt {21} } \over 3}\)
b)
\(\eqalign{
& {\left( {x + 1} \right)^3} – x + 1 = \left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right) \cr
& \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 – x + 1 = {x^2} – 2x – x + 2 \cr
& \Leftrightarrow {x^3} + 2{x^2} + 5x = 0 \cr
& \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + 2x + 5} \right) = 0 \cr} \)
x = 0 hoặc \({x^2} + 2x + 5 = 0\)
\(\eqalign{
& {x^2} + 2x + 5 = 0 \cr
& \Delta ‘ = 1 – 1.5 = 1 – 5 = – 4 < 0 \cr} \)
Phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 0
c)
\(\eqalign{
& {\left( {{x^2} + x + 1} \right)^2} = {\left( {4x – 1} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + x + 1} \right)^2} – {\left( {4x – 1} \right)^2} = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\left( {{x^2} + x + 1} \right) + \left( {4x – 1} \right)} \right]\left[ {\left( {{x^2} + x + 1} \right) – \left( {4x – 1} \right)} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {{x^2} + x + 1 + 4x – 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1 – 4x + 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 5x} \right)\left( {{x^2} – 3x + 2} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow x\left( {x + 5} \right)\left( {{x^2} – 3x + 2} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{x = 0} \cr
{x + 5 = 0} \cr
{{x^2} – 3x + 2 = 0} \cr} } \right. \cr} \)
x + 5 = 0 ⇒ x = -5
\({x^2} – 3x + 2 = 0\) có dạng: \(a + b + c = 0\), ta có: \(1 + \left( { – 3} \right) + 2 = 0\)
\({x_1} = 1;{x_2} = 2\)
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm: \({x_1} = 0;{x_2} = – 5;{x_3} = 1;{x_4} = 2\)
d)
\(\eqalign{
& {\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)^2} = 6\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) \cr
& \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)^2} – 6\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\left[ {\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) – 6} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\left( {{x^2} + 3x – 4} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{{x^2} + 3x + 2 = 0} \cr
{{x^2} + 3x – 4 = 0} \cr} } \right. \cr} \)
\({x^2} + 3x + 2 = 0\) có dạng: \(a – b + c = 0\), ta có:
\(\eqalign{
& 1 – 3 + 2 = 0 \cr
& {x_1} = – 1;{x_2} = – 2 \cr} \)
\({x^2} + 3x – 4 = 0\) có dạng: $a + b + c = 0\)
\(\eqalign{
& 1 + 3 + \left( { – 4} \right) = 0 \cr
& {x_3} = 1;{x_4} = – 4 \cr} \)
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm: \({x_1} = – 1;{x_2} = – 2;{x_3} = 1;{x_4} = – 4\)
e)
\(\eqalign{
& {\left( {2{x^2} + 3} \right)^2} – 10{x^3} – 15x = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\left( {2{x^2} + 3} \right)^2} – 5x\left( {2{x^2} + 3} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {2{x^2} + 3} \right)\left( {2{x^2} + 3 – 5x} \right) = 0 \cr} \)
Ta có:
\(\eqalign{
& 2{x^2} \ge 0 \Rightarrow 2{x^2} + 3 > 0 \cr
& \Rightarrow 2{x^2} – 5x + 3 = 0 \cr} \)
Phương trình có dạng: \(a + b + c = 0\)
Ta có:
\(\eqalign{
& 2 + \left( { – 5} \right) + 3 = 0 \cr
& {x_1} = 1;{x_2} = {3 \over 2} \cr} \)
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: \({x_1} = 1;{x_2} = {3 \over 2}\)
f)
\(\eqalign{
& {x^3} – 5{x^2} – x + 5 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2}\left( {x – 5} \right) – \left( {x – 5} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {x – 5} \right)\left( {{x^2} – 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {x – 5} \right)\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \cr
& \left[ {\matrix{
{x – 5 = 0} \cr
{x + 1 = 0} \cr
{x – 1 = 0} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{x = 5} \cr
{x = – 1} \cr
{x = 1} \cr} } \right.} \right. \cr} \)
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: \({x_1} = 5;{x_2} = – 1;{x_3} = 1\)
