Câu 48: Giải các phương trình trùng phương
a) \({x^4} – 8{x^2} – 9 = 0\)
b) \({y^4} – 1,16{y^2} + 0,16 = 0\)
c) \({z^4} – 7{z^2} – 144 = 0\)
d) \(36{t^4} – 13{t^2} + 1 = 0\)
e) \({1 \over 3}{x^4} – {1 \over 2}{x^2} + {1 \over 6} = 0\)
f) \(\sqrt 3 {x^4} – \left( {2 – \sqrt 3 } \right){x^2} – 2 = 0\)
a) \({x^4} – 8{x^2} – 9 = 0\) đặt \({x^2} = t \Rightarrow t \ge 0\)
Ta có phương trình: \({t^2} – 8t – 9 = 0\) có dạng \(a – b + c = 0\)
Ta có:
\(\eqalign{
& 1 – \left( { – 8} \right) + \left( { – 9} \right) = 0 \cr
& {t_1} = – 1;{t_2} = – {{ – 9} \over 1} = 9 \cr} \)
\({t_1} = – 1 < 0\) loại
\( \Rightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3\)
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: \({x_1} = 3;{x_2} = – 3\)
b) \({y^4} – 1,16{y^2} + 0,16 = 0\) đặt \({y^2} = t \Rightarrow t \ge 0\)
Ta có phương trình: \({t^2} – 1,16t + 0,16 = 0\)
Phương trình có dạng: \(a + b + c = 0\)
Ta có:
\(\eqalign{
& 1 + \left( { – 1,16} \right) + 0,16 = 0 \cr
& {t_1} = 1;{t_2} = 0,16 \cr
& \Rightarrow {y^2} = 1 \Rightarrow y = \pm 1 \cr
& {y^2} = 0,16 \Rightarrow y = \pm 0,4 \cr} \)
Vậy phương trình có 4 nghiệm: \({y_1} = 1;{y_2} = – 1;{y_3} = 0,4;{y_4} = – 0,4\)
c) \({z^4} – 7{z^2} – 144 = 0\) đặt \({z^2} = t \Rightarrow t \ge 0\)
Ta có phương trình: \({t^2} – 7t – 144 = 0\)
\(\eqalign{
& \Delta = {\left( { – 7} \right)^2} – 4.1.\left( { – 144} \right) = 49 + 576 = 625 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {625} = 25 \cr
& {t_1} = {{7 + 25} \over {2.1}} = 16 \cr
& {t_2} = {{7 – 25} \over {2.1}} = – 9 \cr} \)
\({t_2} = – 9 < 0\) loại
\( \Rightarrow {z^2} = 16 \Leftrightarrow z = \pm 4\)
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({z_1} = 4;{z_2} = – 4\)
d) \(36{t^4} – 13{t^2} + 1 = 0\) đặt \({t^2} = u \Rightarrow u \ge 0\)
Ta có phương trình: \(36{u^2} – 13u + 1 = 0\)
\(\eqalign{
& \Delta = {\left( { – 13} \right)^2} – 4.36.1 = 169 – 144 = 25 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {25} = 5 \cr
& {u_1} = {{13 + 5} \over {2.36}} = {{18} \over {72}} = {1 \over 4} \cr
& {u_2} = {{13 – 5} \over {2.36}} = {8 \over {72}} = {1 \over 9} \cr
& {t^2} = {1 \over 4} \Leftrightarrow t = \pm {1 \over 2} \cr
& {t^2} = {1 \over 9} \Leftrightarrow t = \pm {1 \over 3} \cr} \)
Vậy phương trình có 4 nghiệm: \({x_1} = {1 \over 2};{x_2} = – {1 \over 2};{x_3} = {1 \over 3};{x_4} = – {1 \over 3}\)
e)
\(\eqalign{
& {1 \over 3}{x^4} – {1 \over 2}{x^2} + {1 \over 6} = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2{x^4} – 3{x^2} + 1 = 0 \cr} \)
Đặt \({x^2} = t \Rightarrow t \ge 0\)
Ta có phương trình: \(2{t^2} – 3t + 1 = 0\)
Phương trình có dạng: \(a + b + c = 0\)
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có:
\(\eqalign{
& 2 + \left( { – 3} \right) + 1 = 0 \cr
& {t_1} = 1;{t_2} = {1 \over 2} \cr
& \Rightarrow {x^2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \cr
& {x^2} = {1 \over 2} \Leftrightarrow x = \pm {{\sqrt 2 } \over 2} \cr} \)
Vậy phương trình có 4 nghiệm: \({x_1} = 1;{x_2} = – 1;{x_3} = {{\sqrt 2 } \over 2};{x_4} = – {{\sqrt 2 } \over 2}\)
f) \(\sqrt 3 {x^4} – \left( {2 – \sqrt 3 } \right){x^2} – 2 = 0\) đặt \({x_2} = t \Rightarrow t \ge 0\)
Ta có phương trình: \(\sqrt 3 {t^2} – \left( {2 – \sqrt 3 } \right)t – 2 = 0\)
Phương trình có dạng: \(a – b + c = 0\)
Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt 3 – \left[ { – \left( {2 – \sqrt 3 } \right)} \right] + \left( { – 2} \right) \cr
& = \sqrt 3 – \left( {\sqrt 3 – 2} \right) + \left( { – 2} \right) \cr
& = \sqrt 3 – \sqrt 3 + 2 – 2 = 0 \cr
& {t_1} = – 1;{t_2} = – {{ – 2} \over {\sqrt 3 }} = {{2\sqrt 3 } \over 3} \cr} \)
\({t_1} = – 1 < 0\) loại
\({x^2} = {{2\sqrt 3 } \over 3} \Rightarrow x = \pm \sqrt {{{2\sqrt 3 } \over 3}} = \pm {{\sqrt {6\sqrt 3 } } \over 3}\)
Phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {{\sqrt {6\sqrt 3 } } \over 3};{x_2} = – {{\sqrt {6\sqrt 3 } } \over 3}\)
Câu 49: Chứng minh rằng khi a và c trái dấu thì phương trình trùng phương \(a{x^4} + b{x^2} + c = 0\) chỉ có hai nghiệm và chúng là hai số đối nhau.
Phương trình: \(a{x^4} + b{x^2} + c = 0\) đặt \({x^2} = t \Rightarrow t \ge 0\)
Ta có phương trình: \(a{t^2} + bt + c = 0\)
Vì a và c trái dấu ⇒ ac < 0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt: t1 và t2
Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({t_1}.{t_2} = {c \over a} < 0\) nên t1 và t2 trái dấu.
Giả sử t1 < 0; t2 > 0. Vì t ≥ 0 ⇒ t1 < 0 loại
\( \Rightarrow {x^2} = {t_2} \Rightarrow x = \pm \sqrt {{t_2}} \)
Vậy phương trình trùng phương: \(a{x^4} + b{x^2} + c = 0\) có hệ số a và c trái dấu thì phương trình trùng phương có 2 nghiệm đối nhau.
Câu 50: Giải các phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ
a) \({\left( {4x – 5} \right)^2} – 6\left( {4x – 5} \right) + 8 = 0\)
b) \({\left( {{x^2} + 3x – 1} \right)^2} + 2\left( {{x^2} + 3x – 1} \right) – 8 = 0\)
c) \({\left( {2{x^2} + x – 2} \right)^2} + 10{x^2} + 5x – 16 = 0\)
Advertisements (Quảng cáo)
d) \(\left( {{x^2} – 3x + 4} \right)\left( {{x^2} – 3x + 2} \right) = 3\)
e) \({{2{x^2}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} – {{5x} \over {x + 1}} + 3 = 0\)
f) \(x – \sqrt {x – 1} – 3 = 0\)
a) \({\left( {4x – 5} \right)^2} – 6\left( {4x – 5} \right) + 8 = 0\) đặt \(4x – 5 = t,\) ta có phương trình:
\(\eqalign{
& {t^2} – 6t + 8 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {\left( { – 3} \right)^2} – 1.8 = 9 – 8 = 1 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt 1 = 1 \cr
& {t_1} = {{3 + 1} \over 1} = 4 \cr
& {t_2} = {{3 – 1} \over 1} = 2 \cr} \)
Suy ra:
\(\left[ {\matrix{
{4x – 5 = 4} \cr
{4x – 5 = 2} \cr
} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{4x = 9} \cr
{4x = 7} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{x = {9 \over 4}} \cr
{x = {7 \over 4}} \cr} } \right.} \right.} \right.\)
Phương trình có 2 nghiệm: \({x_1} = {9 \over 4};{x_2} = {7 \over 4}\)
b) \({\left( {{x^2} + 3x – 1} \right)^2} + 2\left( {{x^2} + 3x – 1} \right) – 8 = 0\) đặt \({x^2} + 3x – 1 = t\)
Ta có phương trình: \({t^2} + 2t – 8 = 0\)
\(\eqalign{
& \Delta ‘ = {1^2} – 1.\left( { – 8} \right) = 1 + 8 = 9 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt 9 = 3 \cr
& {t_1} = {{ – 1 + 3} \over 1} = 2 \cr
& {t_2} = {{ – 1 – 3} \over 1} = – 4 \cr} \)
Với t1 = 2 ta có: \({x^2} + 3x – 1 = 2 \Leftrightarrow {x^2} + 3x – 3 = 0\)
\(\eqalign{
& \Delta = 9 – 4.1.\left( { – 3} \right) = 9 + 12 = 21 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {21} \cr
& {x_1} = {{ – 3 + \sqrt {21} } \over 1} = – 3 + \sqrt {21} \cr
& {x_2} = {{ – 3 – \sqrt {21} } \over 1} = – 3 – \sqrt {21} \cr} \)
Với t2 = -4 ta có: \({x^2} + 3x – 1 = – 4 \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 3 = 0\)
\(\Delta = {3^2} – 4.1.3 = 9 – 12 = – 3 < 0\)
Phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = – 3 + \sqrt {21} ;{x_2} = – 3 – \sqrt {21} \)
c)
\(\eqalign{
& {\left( {2{x^2} + x – 2} \right)^2} + 10{x^2} + 5x – 16 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\left( {2{x^2} + x – 2} \right)^2} + 5\left( {2{x^2} + x – 2} \right) – 6 = 0 \cr} \)
Đặt \(2{x^2} + x – 2 = t\)
Ta có phương trình: \({t^2} + 5t – 6 = 0\) có dạng:
\(\eqalign{
& a + b + c = 0;1 + 5 + \left( { – 6} \right) = 0 \cr
& {t_1} = 1;{t_2} = – 6 \cr} \)
Với t1 = 1 ta có: \(2{x^2} + x – 2 = 1 \Leftrightarrow 2{x^2} + x – 3 = 0\) có dạng: \(a + b + c = 0\)
\(2 + 1 + \left( { – 3} \right) = 0 \Rightarrow {x_1} = 1;{x_2} = – {3 \over 2}\)
Với t2 = -6 ta có: \(2{x^2} + x – 2 = – 6 \Leftrightarrow 2{x^2} + x + 4 = 0\)
\(\Delta = {1^2} – 4.2.4 = 1 – 32 = – 31 < 0\)
Phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình có 2 nghiệm: \({x_1} = 1;{x_2} = – {3 \over 2}\)
d)
\(\eqalign{
& \left( {{x^2} – 3x + 4} \right)\left( {{x^2} – 3x + 2} \right) = 3 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\left( {{x^2} – 3x + 2} \right) + 2} \right]\left( {{x^2} – 3x + 2} \right) = 3 \cr
& \Leftrightarrow {\left( {{x^2} – 3x + 2} \right)^2} + 2\left( {{x^2} – 3x + 2} \right) – 3 = 0 \cr} \)
Đặt \({x^2} – 3x + 2 = t\)
Ta có phương trình: \({t^2} + 2t – 3 = 0\) có dạng:
\(\eqalign{
& a + b + c = 0;1 + 2 + \left( { – 3} \right) = 0 \cr
& {t_1} = 1;{t_2} = {{ – 3} \over 1} = – 3 \cr} \)
Với t1 = 1 ta có: \({x^2} – 3x + 2 = 1 \Leftrightarrow {x^2} – 3x + 1 = 0\)
\(\eqalign{
& \Delta = {\left( { – 3} \right)^2} – 4.1.1 = 9 – 4 = 5 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt 5 \cr
& {x_1} = {{3 + \sqrt 5 } \over {2.1}} = {{3 + \sqrt 5 } \over 2} \cr
& {x_2} = {{3 – \sqrt 5 } \over {2.1}} = {{3 – \sqrt 5 } \over 2} \cr} \)
Với t2 = -3 ta có: \({x^2} – 3x + 2 = – 3 \Leftrightarrow {x^2} – 3x + 5 = 0\)
\(\Delta = {\left( { – 3} \right)^2} – 4.1.5 = 9 – 20 = – 11 < 0\)
Phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình có 2 nghiệm: \({x_1} = {{3 + \sqrt 5 } \over 2};{x_2} = {{3 – \sqrt 5 } \over 2}\)
e)
\(\eqalign{
& {{2{x^2}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} – {{5x} \over {x + 1}} + 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2{\left( {{x \over {x + 1}}} \right)^2} – 5\left( {{x \over {x + 1}}} \right) + 3 = 0 \cr} \)
Đặt \({x \over {x + 1}} = t,\) ta có phương trình: \(2{t^2} – 5t + 3 = 0\)
\(2{t^2} – 5t + 3 = 0\) có dạng: \(a + b + c = 0;2 + \left( { – 5} \right) + 3 = 0\)
\({t_1} = 1;{t_2} = {3 \over 2}\)
Với \({t_1} = 1\) ta có: \({x \over {x + 1}} = 1 \Leftrightarrow x = x + 1 \Rightarrow 0x = 1\) vô nghiệm
Với t2 = \({3 \over 2}\) ta có: \({x \over {x + 1}} = {3 \over 2} \Leftrightarrow 2x = 3x + 3 \Rightarrow x = – 3\)
x = -3 thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình có 1 nghiệm: x = -3
f) \(x – \sqrt {x – 1} – 3 = 0\) điều kiện: x ≥ 1
\( \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right) – \sqrt {x – 1} – 2 = 0\) đặt \(\sqrt {x – 1} = t \Rightarrow t \ge 0\)
Ta có phương trình: \({t^2} – t – 2 = 0\) có dạng: \(a – b + c = 0\)
\(\eqalign{
& 1 – \left( { – 1} \right) + \left( { – 2} \right) = 1 + 1 – 2 = 0 \cr
& {t_1} = – 1;{t_2} = – {{ – 2} \over 1} = 2 \cr} \)
\({t_1} = – 1 < 0\) loại
Với \({t_2} = 2\) ta có: \(\sqrt {x – 1} = 2 \Rightarrow x – 1 = 4 \Rightarrow x = 5\)
x = 5 thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình có 1 nghiệm: x = 5
