Câu 6.1: Trang 58 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0).\)
Điều nào sau đây đúng?
A) \({x_1} + {x_2} = {b \over a},{x_1}{x_2} = {c \over a}\)
B) \({x_1} + {x_2} = – {b \over a},{x_1}{x_2} = – {c \over a}\)
C) \({x_1} + {x_2} = {b \over a},{x_1}{x_2} = – {c \over a}\)
D) \({x_1} + {x_2} = – {b \over a},{x_1}{x_2} = {c \over a}\)
x1, x2 là nghiệm của phương trình: \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\)
Chọn D \({x_1} + {x_2} = – {b \over a},{x_1}{x_2} = {c \over a}\)
Câu 6.2: Giả sử x1, x2 la hai nghiệm của phương trình \({x^2} + px + q = 0.\) Hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 + x2, x1x2.
Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình: \({x^2} + px + q = 0\)
Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1} + {x_2} = – {p \over 1} = – p;{x_1}{x_2} = {q \over 1} = q\)
Phương trình có hai nghiệm là \({x_1} + {x_2}\) và \({x_1}{x_2}\) tức là phương trình có hai nghiệm là –p và q.
Hai số -p và q là nghiệm của phương trình.
\(\eqalign{
& \left( {x + p} \right)\left( {x – q} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – qx + px – pq = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + \left( {q – p} \right)x – pq = 0 \cr} \)
Phương trình cần tìm: \({x^2} + \left( {p – q} \right)x – pq = 0\)
Câu 6.3: Dùng định lí Vi-ét, hãy chứng tỏ rằng nếu tam thức \(a{x^2} + bx + c\) có hai nghiệm x1 và x2 thì nó phân tích được thành
\(a{x^2} + bx + c = a\left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right)\)
Áp dụng:
Phân tích các tam thức sau thành tích:
Advertisements (Quảng cáo)
a) \({x^2} – 11x + 30\)
b) \(3{x^2} + 14x + 8\)
c) \(5{x^2} + 8x – 4\)
d) \({x^2} – \left( {1 + 2\sqrt 3 } \right)x – 3 + \sqrt 3 \)
a) Tam thức bậc hai: \(a{x^2} + bx + c\) có hai nghiệm x1, x2 nên phương trình: \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) có hai nghiệm x1, x2
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\(\eqalign{
& {x_1} + {x_2} = – {b \over a};{x_1}{x_2} = {c \over a}(1) \cr
& a{x^2} + bx + c = a\left( {{x^2} + {b \over a}x + {c \over a}} \right)(2) \cr} \)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(\eqalign{
& a{x^2} + bx + c = a\left[ {{x^2} – \left( {{x_1} + {x_2}} \right)x + {x_1}{x_2}} \right] \cr
& = a\left[ {{x^2} – {x_1}x – {x_2}x + {x_1}{x_2}} \right] \cr
& = a\left[ {x\left( {x – {x_1}} \right) – {x_2}\left( {x – {x_1}} \right)} \right] \cr
& = a\left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right) \cr} \)
Áp dụng
a)
\(\eqalign{
& {x^2} – 11x + 30 = x \cr
& \Delta = {\left( { – 11} \right)^2} – 4.1.30 = 121 – 120 = 1 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt 1 = 1 \cr
& {x_1} = {{11 + 1} \over {2.1}} = 6 \cr
& {x_2} = {{11 – 1} \over {2.1}} = 5 \cr} \)
Ta có: \({x^2} – 11x + 30 = \left( {x – 6} \right)\left( {x + 5} \right)\)
Advertisements (Quảng cáo)
b)
\(\eqalign{
& 3{x^2} + 14x + 8 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {7^2} – 3.8 = 49 – 24 = 25 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt {25} = 5 \cr
& {x_1} = {{ – 7 + 5} \over 3} = – {2 \over 3} \cr
& {x_2} = {{ – 7 – 5} \over 3} = – 4 \cr
& 3{x^2} + 14x + 8 = 3\left( {x + {2 \over 3}} \right)\left( {x + 4} \right) = \left( {3x + 2} \right)\left( {x + 4} \right) \cr} \)
c)
\(\eqalign{
& 5{x^2} + 8x – 4 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {4^2} – 5.\left( { – 4} \right) = 16 + 20 = 36 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt {36} = 6 \cr
& {x_1} = {{ – 4 – 6} \over 5} = – 2 \cr
& {x_2} = {{ – 4 + 6} \over 5} = {2 \over 5} \cr
& \Rightarrow 5{x^2} + 8x – 4 = 5\left( {x – {2 \over 5}} \right)\left( {x + 2} \right) = \left( {5x – 2} \right)\left( {x + 2} \right) \cr} \)
d)
\(\eqalign{
& {x^2} – \left( {1 + 2\sqrt 3 } \right)x – 3 + \sqrt 3 = 0 \cr
& \Delta = {\left[ { – \left( {1 + 2\sqrt 3 } \right)} \right]^2} – 4.1.\left( { – 3 + \sqrt 3 } \right) \cr
& = 1 + 4\sqrt 3 + 12 + 12 – 4\sqrt 3 = 25 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {25} = 5 \cr
& {x_1} = {{1 + 2\sqrt 3 + 5} \over {2.1}} = 3 + \sqrt 3 \cr
& {x_2} = {{1 + 2\sqrt 3 – 5} \over {2.1}} = \sqrt 3 – 2 \cr
& {x^2} – \left( {1 + 2\sqrt 3 } \right)x – 3 + \sqrt 3 = \left[ {x – \left( {3 + \sqrt 3 } \right)} \right]\left[ {x – \left( {\sqrt 3 – 2} \right)} \right] \cr
& = \left( {x – 3 – \sqrt 3 } \right)\left( {x – \sqrt 3 + 2} \right) \cr} \)
Câu 6.4
Cho phương trình
\(\left( {2m – 1} \right){x^2} – 2\left( {m + 4} \right)x + 5m + 2 = 0(m \ne {1 \over 2}).\)
a) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.
b) Khi phương trình có nghiệm x1, x2, hãy tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo m.
c) Tìm hệ thức giữa S và P sao cho trong hệ thức này không có m.
Phương trình: \(\left( {2m – 1} \right){x^2} – 2\left( {m + 4} \right)x + 5m + 2 = 0(m \ne {1 \over 2})\) (1)
a) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(\sqrt {\Delta ‘} \ge 0\)
\(\eqalign{
& \Delta ‘ = {\left[ { – \left( {m + 4} \right)} \right]^2} – \left( {2m – 1} \right)\left( {5m + 2} \right) \cr
& = {m^2} + 8m + 16 – 10{m^2} – 4m + 5m + 2 \cr
& = – 9m + 9m + 18 \cr
& = – 9m\left( {{m^2} – m – 2} \right) \cr
& = – 9\left( {m – 2} \right)\left( {m + 1} \right) \cr
& \Delta ‘ \ge 0 \Rightarrow – 9\left( {m – 2} \right)\left( {m + 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left( {m – 2} \right)\left( {m + 1} \right) \le 0 \cr} \)
\( \Rightarrow \left\{ {\matrix{
{m – 2 \ge 0} \cr
{m + 1 \le 0} \cr} } \right.\) hoặc
\(\left\{ {\matrix{
{m – 2 \le 0} \cr
{m + 1 \ge 0} \cr} } \right.\)
\(\left\{ {\matrix{
{m – 2 \ge 0} \cr
{m + 1 \le 0} \cr
} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{m \ge 2} \cr
{m \le – 1} \cr} } \right.} \right.\)
vô nghiệm
\(\left\{ {\matrix{
{m – 2 \le 0} \cr
{m + 1 \ge 0} \cr
} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{m \le 2} \cr
{m \ge – 1} \cr} \Leftrightarrow – 1 \le m \le 2} \right.} \right.\)
Vậy với -1 ≤ m ≤ 2 thì phương trình (1) có nghiệm.
b) Phương trình có hai nghiệm x1, x2. Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\({x_1} + {x_2} = {{2\left( {m + 4} \right)} \over {2m – 1}};{x_1}{x_2} = {{5m + 2} \over {2m – 1}}\)
c) Đặt \({x_1} + {x_2} = S;{x_1}{x_2} = P\)
\(S = {{2m + 8} \over {2m – 1}} \Leftrightarrow 2mS – S = 2m + 8 \Leftrightarrow 2m\left( {S – 1} \right) = S + 8\)
Ta có:
\(\eqalign{
& 2m + 8 \ne 2m – 1 \Rightarrow S \ne 1 \cr
& \Rightarrow m = {{S + 8} \over {2\left( {S – 1} \right)}} \cr} \)
Thay vào biểu thức P ta có:
\(\eqalign{
& P = {{5.{{S + 8} \over {2\left( {S – 1} \right)}} + 2} \over {2.{{S + 8} \over {2\left( {S – 1} \right)}} – 1}} = {{5S + 40 + 4S – 4} \over {2S + 16 – 2S + 2}} = {{9S + 36} \over {18}} = {{S + 4} \over 2} \cr
& \Rightarrow 2P = S + 4 \Rightarrow 2P – S = 4 \cr
& \Rightarrow 2{x_1}{x_2} – \left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 4 \cr} \)
Biểu thức không phụ thuộc vào m
