Câu 45*: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Vẽ đường tròn (O) có đường kính AH. Chứng minh rằng:
a) Điểm E nằm trên đường tròn(O);
b) DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
a) Gọi O là trung điểm của AH
Tam giác AEH vuông tại E có EO là đường trung tuyến nên:
\( EO = OA = OH ={{AH} \over 2}\) (tính chất tam giác vuông)
Vậy điểm E nằm trên đường tròn \(\left( {O;{{AH} \over 2}} \right)\)
b) Ta có: OH = OE
suy ra tam giác OHE cân tại O
suy ra: \(\widehat {OEH} = \widehat {OHE}\) (1)
Mà \(\widehat {BHD} = \widehat {OHE}\) (đối đỉnh) (2)
Trong tam giác BDH ta có:
\(\widehat {HDB} = 90^\circ \)
Suy ra: \(\widehat {HBD} + \widehat {BHD} = 90^\circ \) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra:
\(\widehat {OEH} + \widehat {HBD} = 90^\circ \) (4)
Tam giác ABC cân tại A có AD ⊥ BC nên BD = CD
Tam giác BCE vuông tại E có ED là đường trung tuyến nên:
\(ED = BD = {{BC} \over 2}\) (tính chất tam giác vuông).
Advertisements (Quảng cáo)
Suy ra tam giác BDE cân tại D
Suy ra: \(\widehat {BDE} = \widehat {DEB}\) (5)
Từ (4) và (5) suy ra: \(\widehat {OEH} + \widehat {DEB} = 90^\circ \) hay \(\widehat {DEO} = 90^\circ \)
Suy ra: DE ⊥ EO. Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn ((O).
Câu 46: Cho góc nhọn xOy, điểm A thuộc tia Ox. Dựng đường tròn tâm I tiếp xúc với Ox tại A và có tâm I nằm trên tia Oy.
* Phân tích
Giả sử đường tròn tâm I dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán.
− Đường tròn tâm I tiếp xúc với Ox tại A nên I nằm trên đường thẳng vuông góc với Ox kẻ từ A.
− Tâm I nằm trên tia Oy nên I là giao điểm của Oy và đường thẳng vuông góc với Ox tại A.
* Cách dựng
− Dựng đường vuông góc với Ox tại A cắt Oy tại I.
Advertisements (Quảng cáo)
− Dựng đường tròn (I; IA).
* Chứng minh
Ta có: I thuộc Oy, OA ⊥ IA tại A.
Suy ra Ox là tiếp tuyến của đường tròn ( I;IA)
hay (I; IA) tiếp xúc với Ox.
* Biện luận
Vì \(\widehat {xOy}\) là góc nhọn nên đường thẳng vuông góc với Ox tại A luôn cắt tia Oy nên tâm I luôn xác định và duy nhất.
Câu 47: Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không giao nhau. Dựng tiếp tuyến của đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến đó song song với d.
* Phân tích
Giả sử tiếp tuyến của đường tròn dựng được thỏa
mãn điều kiện bài toán.
− d1 là tiếp tuyến của đường tròn tại A nên d1 ⊥ OA
− Vì d1 // d nên d ⊥ OA.
Vậy A là giao điểm của đường thẳng kẻ từ O vuông góc với d.
* Cách dựng
− Dựng OH vuông góc với d cắt đường tròn (O) tại A và B.
− Dựng đường thẳng d1 đi qua A và vuông góc với OA.
− Dựng đường thẳng d2 đi qua B và vuông góc với OB.
Khi đó d1 và d2 là hai tiếp tuyến cần dựng.
* Chứng minh
Ta có: A và B thuộc (O)
d1 // d mà d ⊥ OH nên d1 ⊥ OH hay d1 ⊥ OA tại A
Suy ra d1 là tiếp tuyến của đường tròn (O)
d2 // d mà d ⊥ OH nên d2 ⊥ OH hay d2 ⊥ OB tại B
Suy ra d2 là tiếp tuyến của đường tròn (O)
* Biện luận
Đường thẳng OH luôn cắt đường tròn (O) nên giao điểm A và B luôn dựng được.
