Câu 15: Chứng minh:
a) \(9 + 4\sqrt 5 = {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^2}\);
b) \(\sqrt {9 – 4\sqrt 5 } – \sqrt 5 = – 2\);
c) \({\left( {4 – \sqrt 7 } \right)^2} = 23 – 8\sqrt 7 \);
d) \(\sqrt {23 + 8\sqrt 7 } – \sqrt 7 = 4.\)
a) Ta có:
VT = \(\eqalign{
& 9 + 4\sqrt 5 = 4 + 2.2\sqrt 5 + 5 \cr
& = {2^2} + 2.2\sqrt 5 + {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} = {\left( {2 + \sqrt 5 } \right)^2} \cr} \)
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
b) Ta có:
VT = \(\sqrt {9 – 4\sqrt 5 } – \sqrt 5 = \sqrt {5 – 2.2\sqrt 5 + 4} – \sqrt 5 \)
\(\eqalign{
& = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} – 2.2\sqrt 5 + {2^2}} – \sqrt 5 \cr
& = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 – 2} \right)}^2}} – \sqrt 5 \cr} \)
\(\left| {\sqrt 5 – 2} \right| – \sqrt 5 = \sqrt 5 – 2 – \sqrt 5 = – 2\)
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
c) Ta có:
VT = \(\eqalign{
& {\left( {4 – \sqrt 7 } \right)^2} = {4^2} – 2.4.\sqrt 7 + {\left( {\sqrt 7 } \right)^2} \cr
& = 16 – 8\sqrt 7 + 7 = 23 – 8\sqrt 7 \cr} \)
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
d) Ta có:
VT = \(\eqalign{
& \sqrt {23 + 8\sqrt 7 } – \sqrt 7 \cr
& = \sqrt {16 + 2.4.\sqrt 7 + 7} – \sqrt 7 \cr} \)
= \(\eqalign{
& \sqrt {{4^2} + 2.4.\sqrt 7 + {{\left( {\sqrt 7 } \right)}^2}} – \sqrt 7 \cr
& = \sqrt {{{\left( {4 + \sqrt 7 } \right)}^2}} – \sqrt 7 \cr} \)
= \(\left| {4 + \sqrt 7 } \right| – \sqrt 7 = 4 + \sqrt 7 – \sqrt 7 = 4\)
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
Câu 16: Biểu thức sau đây xác định với giá trị nào của x ?
a) \(\sqrt {(x – 1)(x – 3)} \);
b) \(\sqrt {{x^2} – 4} \);
c) \(\sqrt {{{x – 2} \over {x + 3}}} \);
d) \(\sqrt {{{2 + x} \over {5 – x}}} \).
a) Ta có: \(\sqrt {(x – 1)(x – 3)} \) xác định khi và chỉ khi :
\((x – 1)(x – 3) \ge 0\)
Trường hợp 1:
\(\left\{ \matrix{
x – 1 \ge 0 \hfill \cr
x – 3 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 1 \hfill \cr
x \ge 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 3\)
Trường hợp 2:
Advertisements (Quảng cáo)
\(\left\{ \matrix{
x – 1 \le 0 \hfill \cr
x – 3 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \le 1 \hfill \cr
x \le 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \le 1\)
Vậy với x ≤ 1 hoặc x ≥ 3 thì \(\sqrt {(x – 1)(x – 3)} \) xác định.
b) Ta có: \(\sqrt {{x^2} – 4} \) xác định khi và chỉ khi:
\(\eqalign{
& {x^2} – 4 \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \ge 4 \cr
& \Leftrightarrow \left| x \right| \ge 2 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x \ge 2 \hfill \cr
x \le – 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy với x ≤ -2 hoặc x ≥ 2 thì \(\sqrt {{x^2} – 4} \) xác định.
c) Ta có: \(\sqrt {{{x – 2} \over {x + 3}}} \) xác định khi và chỉ khi:
Trường hợp 1:
\(\left\{ \matrix{
x – 2 \ge 0 \hfill \cr
x + 3 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 2 \hfill \cr
x > – 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 2\)
Trường hợp 2:
\(\left\{ \matrix{
x – 2 \le 0 \hfill \cr
x + 3 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \le 2 \hfill \cr
x < – 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x < – 3\)
Vậy với x < -3 hoặc x ≥ 2 thì \(\sqrt {{{x – 2} \over {x + 3}}} \) xác định.
d) Ta có: \(\sqrt {{{2 + x} \over {5 – x}}} \) xác định khi và chỉ khi \({{2 + x} \over {5 – x}} \ge 0\)
Trường hợp 1:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
2 + x \ge 0 \hfill \cr
5 – x > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge – 2 \hfill \cr
x < 5 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow – 2 \le x < 5 \cr} \)
Trường hợp 2:
\(\left\{ \matrix{
2 + x \le 0 \hfill \cr
5 – x < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \le – 2 \hfill \cr
x > 5 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \) vô nghiệm.
Vậy với -2 ≤ x < 5 thì \(\sqrt {{{2 + x} \over {5 – x}}} \) xác định
Câu 17: Tìm x, biết:
a) \(\sqrt {9{x^2}} = 2x + 1\);
b) \(\sqrt {{x^2} + 6x + 9} = 3x – 1\);
c) \(\sqrt {1 – 4x + 4{x^2}} = 5\);
Advertisements (Quảng cáo)
d) \(\sqrt {{x^4}} = 7\).
a) Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {9{x^2}} = 2x + 1 \cr
& \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {3x} \right)}^2}} = 2x + 1 \cr
& \Leftrightarrow \left| {3x} \right| = 2x + 1 \cr} \) (1)
Trường hợp 1:
\(3x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0 \Rightarrow \left| {3x} \right| = 3x\)
Suy ra:
\(3x = 2x + 1 \Leftrightarrow 3x – 2x = 1 \Leftrightarrow x = 1\)
Giá trị x = 1 thỏa mãn điều kiện x ≥ 0.
Vậy x = 1 là nghiệm của phương trình (1).
Trường hợp 2:
\(3x < 0 \Leftrightarrow x < 0 \Rightarrow \left| {3x} \right| = – 3x\)
Suy ra :
\(\eqalign{
& – 3x = 2x + 1 \Leftrightarrow – 3x – 2x = 1 \cr
& \Leftrightarrow – 5x = 1 \Leftrightarrow x = – {1 \over 5} \cr} \)
Giá trị \(x = – {1 \over 5}\) thỏa mãn điều kiện x < 0.
Vậy \(x = – {1 \over 5}\) là nghiệm của phương trình (1).
Vậy x = 1 và \(x = – {1 \over 5}\)
b) Ta có :
\(\sqrt {{x^2} + 6x + 9} = 3x – 1\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2}} = 3x – 1 \cr
& \Leftrightarrow \left| {x + 3} \right| = 3x – 1\,\,\,\,\,\,\,(1) \cr} \)
Trường hợp 1:
\(\eqalign{
& x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge – 3 \cr
& \Rightarrow \left| {x + 3} \right| = x + 3 \cr} \)
Suy ra :
\(\eqalign{
& x + 3 = 3x – 1 \cr
& \Leftrightarrow x – 3x = – 1 – 3 \cr
& \Leftrightarrow – 2x = – 4 \Leftrightarrow x = 2 \cr} \)
Giá trị x = 2 thỏa mãn điều kiện x ≥ -3.
Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình (2).
Trường hợp 2:
\(\eqalign{
& x + 3 < 0 \Leftrightarrow x < – 3 \cr
& \Rightarrow \left| {x + 3} \right| = – x – 3 \cr} \)
Suy ra:
\(\eqalign{
& – x – 3 = 3x – 1 \cr
& \Leftrightarrow – x – 3x = – 1 + 3 \cr
& \Leftrightarrow – 4x = 2 \Leftrightarrow x = – 0,5 \cr} \)
Giá trị x = -0,5 không thỏa mãn điều kiện x < -3 : loại.
Vậy x = 2.
Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {1 – 4x – 4{x^2}} = 5 \cr
& \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {1 – 2x} \right)}^2}} = 5 \cr
& \Leftrightarrow \left| {1 – 2x} \right| = 5 \cr} \) (3)
Trường hợp 1:
\(\eqalign{
& 1 – 2x \ge 0 \Leftrightarrow 2x \le 1 \Leftrightarrow x \le {1 \over 2} \cr
& \Rightarrow \left| {1 – 2x} \right| = 1 – 2x \cr} \)
Suy ra:
\(\eqalign{
& 1 – 2x = 5 \Leftrightarrow – 2x = 5 – 1 \cr
& \Leftrightarrow x = – 2 \cr} \)
Giá trị x = -2 thỏa mãn điều kiện \(x \le {1 \over 2}\)
Vậy x = -2 là nghiệm của phương trình (3).
Trường hợp 2:
\(\eqalign{
& 1 – 2x < 0 \Leftrightarrow 2x > 1 \Leftrightarrow x > {1 \over 2} \cr
& \Rightarrow \left| {1 – 2x} \right| = 2x – 1 \cr} \)
Suy ra:
\(2x – 1 = 5 \Leftrightarrow 2x = 5 + 1 \Leftrightarrow x = 3\)
Giá trị x = 3 thỏa mãn điều kiện \(x > {1 \over 2}\)
Vậy x = 3 là nghiệm của phương trình (3).
Vậy x = -2 và x = 3.
d) Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{x^4}} = 7 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {{x^2}} \right)}^2}} = 7 \cr
& \Leftrightarrow \left| {{x^2}} \right| = 7 \Leftrightarrow {x^2} = 7 \cr} \)
Vậy \(x = \sqrt 7 \) và \(x = – \sqrt 7 \)
