Câu 18: Phân tích thành nhân tử:
a) \({x^2} – 7\);
b) \({x^2} – 2\sqrt 2 x + 2\);
c) \({x^2} + 2\sqrt {13} x + 13\).
a) Ta có:
\(\eqalign{
& {x^2} – 7 = {x^2} – {\left( {\sqrt 7 } \right)^2} \cr
& = \left( {x + \sqrt 7 } \right)\left( {x – \sqrt 7 } \right) \cr} \)
b) Ta có:
\(\eqalign{
& {x^2} – 2\sqrt 2 x + 2 \cr
& = {x^2} – 2.x.\sqrt 2 + {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} \cr
& = {\left( {x – \sqrt 2 } \right)^2} \cr} \)
c) Ta có:
\(\eqalign{
& {x^2} + 2\sqrt {13} x + 13 \cr
& = {x^2} + 2.x.\sqrt {13} + {\left( {\sqrt {13} } \right)^2} \cr
& = {\left( {x + \sqrt {13} } \right)^2} \cr} \)
Câu 19: Rút gọn các phân thức:
a) \({{{x^2} – 5} \over {x + \sqrt 5 }}\) (với \(x \ne – \sqrt 5 \))
b) \({{{x^2} + 2\sqrt 2 x + 2} \over {{x^2} – 2}}\) (với \(x \ne \pm \sqrt 2 \) )
a) \(\eqalign{
& {{{x^2} – 5} \over {x + \sqrt 5 }} = {{{x^2} – {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}} \over {x + \sqrt 5 }} \cr
& = {{\left( {x – \sqrt 5 } \right)\left( {x + \sqrt 5 } \right)} \over {x + \sqrt 5 }} = x – \sqrt 5 \cr} \)
(với \(x \ne – \sqrt 5 \))
b) \(\eqalign{
& {{{x^2} + 2\sqrt 2 x + 2} \over {{x^2} – 2}} \cr
& = {{{x^2} + 2.x.\sqrt 2 + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} \over {\left( {x + \sqrt 2 } \right)\left( {x – \sqrt 2 } \right)}} \cr
& = {{x + \sqrt 2 } \over {x – \sqrt 2 }} \cr} \)
(với \(x \ne \pm \sqrt 2 \) )
Câu 20: So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi):
a) \(6 + 2\sqrt 2 \) và 9;
Advertisements (Quảng cáo)
b) \(\sqrt 2 + \sqrt 3 \) và 3;
c) \(9 + 4\sqrt 5 \) và 16;
d) \(\sqrt {11} – \sqrt 3 \) và 2.
a) \(6 + 2\sqrt 2 \) và 9
Ta có : 9 = 6 + 3
So sánh: \(2\sqrt 2 \) và 3 vì \(2\sqrt 2 \) > 0 và 3 > 0
Ta có: \({\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = {2^2}{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 4.2 = 8\)
\({3^2} = 9\)
Vì 8 < 9 nên \({\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} < {3^2} \Rightarrow 2\sqrt 2 < 3\)
Vậy \(6 + 2\sqrt 2 < 9.\)
b) \(\sqrt 2 + \sqrt 3 \) và 3
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có:
\(\eqalign{
& {\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)^2} = 2 + 2.\sqrt 2 .\sqrt 3 + 3 \cr
& = 5 + 2.\sqrt 2 .\sqrt 3 \cr} \)
\({3^2} = 9 = 5 + 4 = 5 + 2.2\)
So sánh: \(\sqrt 2 .\sqrt 3 \) và 2
Ta có:
\(\eqalign{
& {\left( {\sqrt 2 .\sqrt 3 } \right)^2} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2}.{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} \cr
& = 2.3 = 6 \cr} \)
\({2^2} = 4\)
Vì 6 > 4 nên \({\left( {\sqrt 2 .\sqrt 3 } \right)^2} > {2^2}\)
Suy ra:
\(\eqalign{
& \sqrt 2 .\sqrt 3 > 2 \cr
& \Rightarrow 2.\sqrt 2 .\sqrt 3 > 2.2 \cr
& \Rightarrow 5 + 2.\sqrt 2 .\sqrt 3 > 4 + 5 \cr} \)
\(\eqalign{
& \Rightarrow 5 + 2\sqrt 2 .\sqrt 3 > 9 \cr
& \Rightarrow {\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)^2} > {3^2} \cr} \)
Vậy \(\sqrt 2 + \sqrt 3 > 3\)
c) \(9 + 4\sqrt 5 \) và 16
So sánh \(4\sqrt 5 \) và 5
Ta có: \(16 > 5 \Rightarrow \sqrt {16} > \sqrt 5 \Rightarrow 4 > \sqrt 5 \)
Vì \(\sqrt 5 > 0\) nên:
\(\eqalign{
& 4.\sqrt 5 > \sqrt 5 .\sqrt 5 \Rightarrow 4\sqrt 5 > 5 \cr
& \Rightarrow 9 + 4\sqrt 5 > 5 + 9 \cr} \)
Vậy \(9 + 4\sqrt 5 > 16\).
d) \(\sqrt {11} – \sqrt 3 \) và 2
Vì \(\sqrt {11} > \sqrt 3 \) nên \(\sqrt {11} – \sqrt 3 > 0\)
Ta có:
\(\eqalign{
& {\left( {\sqrt {11} – \sqrt 3 } \right)^2} \cr
& = 11 – 2.\sqrt {11} .\sqrt 3 + 3 \cr
& = 14 – 2.\sqrt {11} .\sqrt 3 \cr} \)
So sánh 10 và \(2.\sqrt {11} .\sqrt 3 \) hay so sánh giữa 5 và \(\sqrt {11} .\sqrt 3 \)
Ta có: \({5^2} = 25\)
\(\eqalign{
& {\left( {\sqrt {11} .\sqrt 3 } \right)^2} = {\left( {\sqrt {11} } \right)^2}.{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} \cr
& = 11.3 = 33 \cr} \)
Vì 25 < 33 nên \({5^2} < {\left( {\sqrt {11} .\sqrt 3 } \right)^2}\)
Suy ra : \(5 < \sqrt {11} .\sqrt 3 \Rightarrow 10 < 2.\sqrt {11} .\sqrt 3 \)
Suy ra : \(\eqalign{
& 14 – 10 > 14 – 2.\sqrt {11} .\sqrt 3 \cr
& \Rightarrow {\left( {\sqrt {11} .\sqrt 3 } \right)^2} < {2^2} \cr} \)
Vậy \(\sqrt {11} – \sqrt 3 < 2\)
