Câu 29: Giải các phương trình sau:
a. \(\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + 5x – 2} \right) – \left( {{x^3} – 1} \right) = 0\)
b. \({x^2} + \left( {x + 2} \right)\left( {11x – 7} \right) = 4\)
c. \({x^3} + 1 = x\left( {x + 1} \right)\)
d. \({x^3} + {x^2} + x + 1 = 0\)
a. \(\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + 5x – 2} \right) – \left( {{x^3} – 1} \right) = 0\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + 5x – 2} \right) – \left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left[ {\left( {{x^2} + 5x – 2} \right) – \left( {{x^2} + x + 1} \right)} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + 5x – 2 – {x^2} – x – 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {4x – 3} \right) = 0 \cr} \)
\(\Leftrightarrow x – 1 = 0\) hoặc \(4x – 3 = 0\)
+ \(x – 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
+ \(4x – 3 = 0 \Leftrightarrow x = 0,75\)
Vậy phương trình có nghiệm x = 1 hoặc x = 0,75
b. \({x^2} + \left( {x + 2} \right)\left( {11x – 7} \right) = 4\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {x^2} – 4 + \left( {x + 2} \right)\left( {11x – 7} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x – 2} \right) + \left( {x + 2} \right)\left( {11x – 7} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left[ {\left( {x – 2} \right) + \left( {11x – 7} \right)} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x – 2 + 11x – 7} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {12x – 9} \right) = 0 \cr} \)
\( \Leftrightarrow x + 2 = 0\) hoặc \(12x – 9 = 0\)
+ \(x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = – 2\)
+ \(12x – 9 = 0 \Leftrightarrow x = 0,75\)
Vậy phương trình có nghiệm x = -2 hoặc x = 0,75
c. \({x^3} + 1 = x\left( {x + 1} \right)\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} – x + 1} \right) = x\left( {x + 1} \right) \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} – x + 1} \right) – x\left( {x + 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left[ {\left( {{x^2} – x + 1} \right) – x} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} – x + 1 – x} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} – 2x + 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right){\left( {x – 1} \right)^2} = 0 \cr} \)
\( \Leftrightarrow x + 1 = 0\) hoặc \({\left( {x – 1} \right)^2} = 0\)
+ \(x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = – 1\)
+ \({\left( {x – 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x – 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
Vậy phương trình có nghiệm x = -1 hoặc x = 1
Advertisements (Quảng cáo)
d. \({x^3} + {x^2} + x + 1 = 0\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {x^2}\left( {x + 1} \right) + \left( {x + 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \cr} \)
\(\Leftrightarrow {x^2} + 1 = 0\) hoặc \(x + 1 = 0\)
+ \({x^2} + 1 = 0\) : vô nghiệm (vì \({x^2} \ge 0\) nên \({x^2} + 1 > 0\) )
+ \(x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = – 1\)
Vậy phương trình có nghiệm x = -1
Câu 30: Giải các phương trình bậc hai sau đây bằng cách đưa về dạng phương trình tích.
a. \({x^2} – 3x + 2 = 0\)
b. \(- {x^2} + 5x – 6 = 0\)
c. \(4{x^2} – 12x + 5 = 0\)
d. \(2{x^2} + 5x + 3 = 0\)
a. \({x^2} – 3x + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} – x – 2x + 2 = 0\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow x\left( {x – 1} \right) – 2\left( {x – 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x – 2} \right)\left( {x – 1} \right) = 0 \cr} \)
Advertisements (Quảng cáo)
\( \Leftrightarrow x – 2 = 0\) hoặc \(x – 1 = 0\)
+ \(x – 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \)
+ \(x – 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
Vậy phương trình có nghiệm x = 2 hoặc x = 1.
b. \( – {x^2} + 5x – 6 = 0\) \( \Leftrightarrow – {x^2} + 2x + 3x – 6 = 0\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow – x\left( {x – 2} \right) + 3\left( {x – 2} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x – 2} \right)\left( {3 – x} \right) = 0 \cr} \)
\( \Leftrightarrow x – 2 = 0\) hoặc \(3 – x = 0\)
+ \(x – 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\)
+ \(3 – x = 0 \Leftrightarrow x = 3\)
Vậy phương trình có nghiệm x = 2 hoặc x = 3
c. \(4{x^2} – 12x + 5 = 0\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow 4{x^2} – 2x – 10x + 5 = 0 \cr & \Leftrightarrow 2x\left( {2x – 1} \right) – 5\left( {2x – 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {2x – 1} \right)\left( {2x – 5} \right) = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow 2x – 1 = 0\) hoặc \(2x – 5 = 0\)
+ \(2x – 1 = 0 \Leftrightarrow x = 0,5\)
+ \(2x – 5 = 0 \Leftrightarrow x = 2,5\)
Vậy phương trình có nghiệm x = 0,5 hoặc x = 2,5
d. \(2{x^2} + 5x + 3 = 0\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow 2{x^2} + 2x + 3x + 3 = 0 \cr & \Leftrightarrow 2x\left( {x + 1} \right) + 3\left( {x + 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {2x + 3} \right) = 0 \cr} \)
\( \Leftrightarrow 2x + 3 = 0\) hoặc \(x + 1 = 0\)
+ \(2x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = – 1,5\)
+ \(x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = – 1\)
Vậy phương trình có nghiệm x = -1,5 hoặc x = -1
Câu 31: Giải các phương trình sau bằng cách đưa về dạng phương trình tích:
a. \(\left( {x – \sqrt 2 } \right) + 3\left( {{x^2} – 2} \right) = 0\)
b. \({x^2} – 5 = \left( {2x – \sqrt 5 } \right)\left( {x + \sqrt 5 } \right)\)
a. \(\left( {x – \sqrt 2 } \right) + 3\left( {{x^2} – 2} \right) = 0\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow \left( {x – \sqrt 2 } \right) + 3\left( {x + \sqrt 2 } \right)\left( {x – \sqrt 2 } \right) \cr & \Leftrightarrow \left( {x – \sqrt 2 } \right)\left[ {1 + 3\left( {x + \sqrt 2 } \right)} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x – \sqrt 2 } \right)\left( {1 + 3x + 3\sqrt 2 } \right) = 0 \cr} \)
\( \Leftrightarrow x – \sqrt 2 = 0\)hoặc \(1 + 3x + 3\sqrt 2 = 0\)
+ \(x – \sqrt 2 = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt 2 \)
+ \(1 + 3x + 3\sqrt 2 = 0 \Leftrightarrow x = – {{1 + 3\sqrt 2 } \over 3}\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = \sqrt 2 \) hoặc \(x = – {{1 + 3\sqrt 2 } \over 3}\)
b. \({x^2} – 5 = \left( {2x – \sqrt 5 } \right)\left( {x + \sqrt 5 } \right)\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow \left( {x + \sqrt 5 } \right)\left( {x – \sqrt 5 } \right) = \left( {2x – \sqrt 5 } \right)\left( {x + \sqrt 5 } \right) \cr & \Leftrightarrow \left( {x + \sqrt 5 } \right)\left( {x – \sqrt 5 } \right) – \left( {2x – \sqrt 5 } \right)\left( {x + \sqrt 5 } \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + \sqrt 5 } \right)\left[ {\left( {x – \sqrt 5 } \right) – \left( {2x – \sqrt 5 } \right)} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + \sqrt 5 } \right)\left( { – x} \right) = 0 \cr} \)
\( \Leftrightarrow x + \sqrt 5 = 0\)hoặc \( – x = 0\)
+ \(x + \sqrt 5 = 0 \Leftrightarrow x = – \sqrt 5 \)
+ \( – x = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = – \sqrt 5 \) hoặc x = 0
