Câu III.5 : Cho tam giác ABC cân tại C. Kẻ các đường cao \({\rm{A}}{{\rm{A}}_1}\) và \(B{B_1}\) của tam giác đó. Hai đường cao này cắt nhau tại M. Chứng minh rằng đường thẳng MC là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Gọi giao điểm của CM và AB là C1. Ta cần chứng minh \(C{C_1} \bot AB\) và C1 là trung điểm của đoạn thẳng AB. Vì trong một tam giác ba đường cao đồng quy nên CM hay \(C{C_1}\) vuông góc với AB. Hai tam giác vuông \(C{C_1}A\) và \(C{C_1}B\) bằng nhau vì có \(\widehat A = \widehat B\), CA = CB nên \({C_1}A = {C_1}B\) hay C1 là trung điểm của AB. Vậy MC là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Câu III.6: Cho tam giác ABC có Â = 130°. Gọi C’, B’là các điểm sao cho AB là đường trung trực của CC’ và AC là đường trung trực của BB’. Hai đường thẳng CB’ và BC’ cắt nhau tại A’. Hãy tìm bên trong tam giác A’BC điểm cách đều ba cạnh của tam giác đó.
Xét tam giác A’BC. Vì AC là đường trung trực của BB’ nên có \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\). Vì AB là đường trung trực của CC’ nên \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\). Suy ra AB, AC lần lượt là đường phân giác của các góc A’BC và A’CB. Vậy ba đường phân giác của tam giác A’BC đồng quy tại A, hay A là điểm nằm trong tam giác A’BC và cách đều ba cạnh của tam giác này.
Câu III.7: Dựng các hình vuông ABDE và ACFG bên ngoài tam giác nhọn ABC cho trước.
a) Gọi H là điểm thuộc đường thẳng BC sao cho \({\rm{A}}H \bot BC\). Gọi I, J là các điểm thuộc đường thẳng AH sao cho \(EI \bot AH\) và \(GJ \bot AH\). Chứng minh
∆ABH = ∆EAI, ∆ACH = ∆GAJ
Từ đó suy ra đường thẳng AH cắt EG tại trung điểm K của EG (tức là AK là trung tuyến của tam giác AEG)
Advertisements (Quảng cáo)
b) Gọi L là điểm thuộc đường thẳng AK sao cho K là trung điểm của AL. Chứng minh AL = BC.
c) Chứng minh ∆ABL = ∆BDC. Từ đó suy ra CD là một đường cao của tam giác BCL.
d) Chứng minh rằng các đường thẳng AH, BF, CD đồng quy.
a) Hai tam giác vuông ABH và EAI bằng nhau vì có AB = EA, \(\widehat {BAH} = \widehat {A{\rm{E}}I}\) (cùng phụ với góc EAI). Tương tự hai tam giác vuông ACH và GAJ bằng nhau. Suy ra EI = AH = GJ. Mặt khác, \(\widehat {JKG} = \widehat {IKE}\)(đối đỉnh), do đó ∆EKI = ∆GKJ. Từ đó ta có trung điểm của EG. Vậy AK là trung tuyến của tam giác AEG.
b) Theo a) ∆EKI = ∆GKJ nên KI = KJ. Mặt khác, theo giả thiết K là trung điểm của Al nên AI = LJ. Ta có:
Advertisements (Quảng cáo)
AL = AJ + JL = AJ + AI = HC + HB = BC
c) Hai tam giác ALB và BCD bằng nhau và có AL = BC. AB = BD và \(\widehat {BAL} = 90^\circ + \widehat {E{\rm{A}}L} = 90^\circ + \widehat {ABC} = \widehat {DBC}\)
Suy ra \(\widehat {ALB} = \widehat {BC{\rm{D}}}\). Mặt khác ta có \(\widehat {ALB} + \widehat {LBH} = 90^\circ \) nên \(\widehat {BC{\rm{D}}} + \widehat {LBH} = 90^\circ \).
Suy ra \(LB \bot C{\rm{D}}\), tức CD là một đường cao của tam giác LBC.
d) Lập luận tương tự câu c), ta có BF là một đường cao của tam giác LBC.
Vậy ba đường thẳng AH, BF, CD là ba đường cao của tam giác LBC nên chứng đồng quy.
Câu III.8: Cho tam giác.
a) Qua trung điểm D của cạnh BC, kẻ đường thẳng song song với AB, nó cắt cạnh AC tại E. Qua E kẻ đường thẳng song song với BC, nó cắt AB tại F. Chứng minh ∆CDE = ∆EFA. Từ đó suy ra E là trung điểm của cạnh AC.
b) Chứng minh rằng đường thẳng đi qua các trung điểm hai cạnh của một tam giác thì song song với cạnh thứ ba của tam giác đó.
c) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trực tâm của tam giác có ba đỉnh là trung điểm ba cạnh của tam giác ABC.
a) Ta có ∆BDF = ∆EFD (g.c.g)
Suy ra BD = EF. Theo giả thiết, D là trung điểm của BC nên CD = DB = EF.
Hai tam giác CDE và EFA bằng nhau vì CD = EF, \(\widehat {C{\rm{D}}E} = \widehat {CBA} = \widehat {{\rm{EFA}}}\) và \(\widehat {EC{\rm{D}}} = \widehat {{\rm{EAF}}}\) (các góc đồng vị). Suy ra CE = EA.
b) Gọi D là trung điểm của BC, E là trung điểm của AAC. Theo câu a)) đường thẳng qua D, song song với AB phải cắt AC tại trung điểm của AC nên đường thẳng đó phải đi qua E, hay DE // AB.
c) Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, CA, AB. Đường trung trực của BC phải vuông góc với EF (vì (EF // BC), hay nó là một đường cao của tam giác DEF. Suy ra ba đường trung trực của tam giác ABC là ba đường cao của tam giác DEF. Do đó tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC) là trực tâm của tam giác DEF.
