Câu 5: Cho hai số hữu tỉ \({a \over b}\) và \({c \over d}\) (b > 0, d > 0). Chứng tỏ rằng
a) Nếu \({a \over b} < {c \over d}\) thì ad < bc
b) Nếu ad < bc thì \({a \over b} < {c \over d}\)
a) Ta có: \({a \over b} = {{a{\rm{d}}} \over {b{\rm{d}}}}\) (với d > 0);
\({c \over d} = {{bc} \over {b{\rm{d}}}}\) (với b > 0)
Mà \({a \over b} < {c \over d}\) nên \({{a{\rm{d}}} \over {b{\rm{d}}}} < {{bc} \over {b{\rm{d}}}}\) (vì bd > 0)
Vậy ad < bc
b) ad < bc
Với b, d > 0 suy ra: \({{a{\rm{d}}} \over {b{\rm{d}}}} < {{bc} \over {b{\rm{d}}}}\) (vì b > 0, d > 0) thì \({a \over b} < {c \over d}\)
Câu 6
Advertisements (Quảng cáo)
a) Chứng tỏ rằng nếu \({a \over b} < {c \over d}(b > 0,d > 0)\) thì \({a \over b} < {{a + c} \over {b + d}} < {c \over d}\)
b) Hãy viết ba số hữu tỉ xen giữa \({{ – 1} \over 3}\) và \({{ – 1} \over 4}\)
Ta có: \({a \over b} = {{a{\rm{d}}} \over {b{\rm{d}}}};{c \over d} = {{bc} \over {b{\rm{d}}}}\) Vì b>0, d > 0 \( \Rightarrow \) bd > 0
Mà \({a \over b} < {c \over d}\) nên \({{a{\rm{d}}} \over {b{\rm{d}}}} < {{bc} \over {b{\rm{d}}}}\) \( \Rightarrow \)ad < bc (1)
Cộng vào 2 vế của (1) với ab
Advertisements (Quảng cáo)
Suy ra: \(a{\rm{d}} + ab < bc + ab \)
\(\Rightarrow a\left( {b + d} \right) < b\left( {a + c} \right) \)
\(\Rightarrow {a \over b} < {{a + c} \over {b + d}}\) (2)
Cộng vào 2 vế của (1) với cd
Suy ra: \(a{\rm{d}} + c{\rm{d}} < bc + c{\rm{d}}\)
\(\Rightarrow \left( {a + c} \right)d < c\left( {b + d} \right)\)
\(\Rightarrow {{a + c} \over {b + d}} < {c \over d}\) (3)
Từ (2) và (3) suy ra: \({a \over b} < {{a + c} \over {b + d}} < {c \over d}\)
b) Theo câu a) ta có:
\({{ – 1} \over 3} < {{ – 1} \over 4} \Rightarrow {{ – 1} \over 3} < {{ – 1 + ( – 1)} \over {3 + 4}} = {{ – 2} \over 7} < {{ – 1} \over 4}\)
\({{ – 1} \over 3} < {{ – 2} \over 7} \Rightarrow {{ – 1} \over 3} < {{ – 1 + ( – 2)} \over {3 + 7}} = {{ – 3} \over {10}} < {{ – 2} \over 7}\)
\({{ – 1} \over 3} < {{ – 3} \over {10}} \Rightarrow {{ – 1} \over 3} < {{ – 1 + ( – 3)} \over {3 + 10}} = {{ – 4} \over {13}} < {{ – 3} \over {10}}\)
Vậy \({{ – 1} \over 3} < {{ – 4} \over {13}} < {{ – 3} \over {10}} < {{ – 2} \over 7} < {{ – 1} \over 4}\)
Câu 7: Tìm x ∈ Q, biết rằng x là số âm lớn nhất được viết bằng ba chữ số 1.
\(x = {{ – 1} \over {11}}\)
