Câu III.1: Chứng minh rằng trong một tam giác, đường cao không lớn hơn đường trung tuyến xuất phát từ một đỉnh.
Vì đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ cùng một đỉnh lần lươt là đường vuông góc và đường xiên kẻ từ cùng một điểm đến cùng một đường thẳng nên ta có điều phải chứng minh.
Câu III.2: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AD, BE vuông góc với nhau. Chứng minh rằng BC > 2AC.
BC < 2AC nếu \({1 \over 2}BC = C{\rm{D < AC}}\)
Xét hai tam giác ADC có \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{G_1}} + \widehat {{B_1}}\). Theo giả thiết \(\widehat {{G_1}} = 90^\circ \) nên \(\widehat {{D_1}}\) là góc tù.
Cạnh AC đối diện với góc \({{\rm{D}}_1}\) nên là cạnh lớn nhất, vậy AC > DC hay 2AC > 2DC = BC.
Câu III.3: Ba đường phân giác AD, BE, CF của tam giác ABC quy đồng tại O. Kẻ đường vuông góc OG đến BC. Chứng minh rằng \(\widehat {BOG} = \widehat {CO{\rm{D}}}\).
Advertisements (Quảng cáo)
Đế chứng minh \(\widehat {BOG} = \widehat {CO{\rm{D}}}\), ta chứng minh \(\widehat {BO{\rm{D}}} = \widehat {GOC}\).
Xét tam giác OAB, ta có
\(\widehat {BO{\rm{D}}} = {1 \over 2}\left( {\widehat A + \widehat B} \right) = {1 \over 2}\left( {180^\circ – \widehat C} \right)\) (1)
Advertisements (Quảng cáo)
Xét tam giác vuông OCG ta có:
\(\widehat {GOC} = 90^\circ – {1 \over 2}\widehat C = {1 \over 2}\left( {180^\circ – \widehat C} \right)\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {BO{\rm{D}}} = \widehat {GOC}\). Vậy \(\widehat {BOG} = \widehat {CO{\rm{D}}}\).
Câu III.4: Cho tam giác ABC cân tại B có \(\widehat B = 112^\circ \). Kẻ đường cao AH và đường phân giác AD của tam giác đó. Tính các góc của tam giác AHD.
Xét tam giác vuông AHB. Ta có:
\(\widehat {ABH} = 180^\circ – 112^\circ = 68^\circ \)
\(\widehat {{A_1}} = 90^\circ – \widehat {ABH} = 90^\circ – 68^\circ = 22^\circ \)
Tam giác ABC cân tại B có \(\widehat B = 112^\circ \) nên
$$\widehat {BAC} = \left( {180^\circ – 112^\circ } \right):2 = 34^\circ $$
Do đó \(\widehat {{A_2}} = 34^\circ :2 = 17^\circ \).Từ đó
\(\widehat {HA{\rm{D}}} = \widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = 22^\circ + 17^\circ = 39^\circ \)
\(\widehat {H{\rm{D}}A} = 90^\circ – \widehat {HA{\rm{D}}} = 90^\circ – 39^\circ = 51^\circ \)
