Câu I.5: Tìm x, y biết \({{{x^2} + {y^2}} \over {10}} = {{{x^2} – 2{y^2}} \over 7}\) và x4y4 = 81.
Đặt x2 = a (a ≥ 0), y2 = b (b ≥ 0)
Ta có \({{a + b} \over {10}} = {{a – 2b} \over 7}\) và a2b2 = 81.
\({{a + b} \over {10}} = {{a – 2b} \over 7} = {{(a + b) – (a – 2b)} \over {10 – 7}} = {{3b} \over 3} = b\) (1)
\({{a + b} \over {10}} = {{a – 2b} \over 7} = {{2a + 2b} \over {20}} = {{(2a + 2b) + (a – 2b)} \over {20 + 7}} = {{3a} \over {27}} = {a \over 9}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \({a \over 9} = b \Rightarrow a = 9b\)
Do a2b2 = 81 nên (9b2).b2 = 81 \( \Rightarrow 81{b^4} = 81 \Rightarrow {b^4} = 1 \Rightarrow b = 1\) (vì b ≥ 0)
Suy ra a = 9 . 1 = 9
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có x2 = 9 và y2 = 1. Suy ra x = ±3, y = ±1.
Câu I.6: Với giá trị nào của x thì \(A = \left| {x – 3} \right| + \left| {x – 5} \right| + \left| {x – 7} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất?
Ta biết rằng |A| ≥ A (Dấu ”=” xảy ra khi và chỉ khi A ≥ 0)
Advertisements (Quảng cáo)
|A| = |-A| và |A| ≥ 0 (Dấu ”=” xảy ra khi và chỉ khi A = 0)
Ta có \(A = \left| {x – 3} \right| + \left| {x – 5} \right| + \left| {x – 7} \right| \ge x – 3 + 0 + 7 – x = 4\)
Dấu ”=” xảy ra khi và chỉ khi
\(\left\{ \matrix{
x – 3 \ge 0 \hfill \cr
x – 5 = 0 \hfill \cr
7 – x \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 3 \hfill \cr
x = 5 \hfill \cr
x \le 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 5\)
Vậy với x = 5 thì A đạt giá trị nhỏ nhất là 4.
Câu I.7: Với giá trị nào của x thì \(B = \left| {x – 1} \right| + \left| {x – 2} \right| + \left| {x – 3} \right| + \left| {x – 5} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất?
Ta có
\(\eqalign{
& B = \left| {x – 1} \right| + \left| {x – 2} \right| + \left| {3 – x} \right| + \left| {5 – x} \right| \cr
& \Rightarrow B \ge x – 1 + x – 2 + 3 – x + 5 – x \cr} \)
Dấu ”=” xảy ra khi và chỉ khi
\(\left\{ \matrix{
x – 1 \ge 0 \hfill \cr
x – 2 \ge 0 \hfill \cr
3 – x \ge 0 \hfill \cr
5 – x \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 1 \hfill \cr
x \ge 2 \hfill \cr
x \le 3 \hfill \cr
x \le 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow 2 \le x \le 3.\)
Vậy với 2 ≤ x ≤ 3 thì B đạt giá trị nhỏ nhất là 5.
