Bài 64, 65, 66 trang 146 SBT Toán lớp 7 tập 1: Chứng minh rằng DM + EN = BC?

Câu 64: Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC. Vẽ điểm F sao cho E là trung điểm của DF. Chứng minh rằng:

a) DB = CF

b) ∆BDC = ∆FCD

c) DE// BC và \(DE = {1 \over 2}BC\)

a) Xét ∆ADE và ∆CFE, ta có:

AE = CE (gt)

\(\widehat {A{\rm{ED}}} = \widehat {{\rm{CEF}}}\) (đối đỉnh)

DE = FE(gt)

Suy ra: ∆ADE = ∆CFE (c.g.c)

\( \Rightarrow \) AD = CF (hai cạnh tương ứng)

Mà AD = DB (gt)

Vậy: DB = CF

b) Ta có: ∆ADE = ∆CFE (chứng minh trên)

\( \Rightarrow \widehat {A{\rm{D}}E} = \widehat {CF{\rm{E}}}\) (2 góc tương ứng)

\( \Rightarrow \) AD // CF (vì có cặp góc so le trong bằng nhau)

Hay AB // CF

Xét ∆DBC = ∆CDF, ta có:

BD = CF (chứng minh trên)

\(\widehat {B{\rm{D}}C} = \widehat {FC{\rm{D}}}\) (hai góc so le trong vì CF // AB)

DC cạnh chung

Suy ra: ∆BDC = ∆FCD(c. g. c)

c) Ta có: ∆BDC = ∆FCD (chứng minh trên)

Suy ra: \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}\) (hai góc tương ứng)

Suy ra: DE // BC (vì có hai góc so le trong bằng nhau)

BDC = ∆FCD=> BC = DF (hai cạnh tương ứng)

Mà \({\rm{D}}E = {1 \over 2}DF\left( {gt} \right)\). Vậy \({\rm{D}}E = {1 \over 2}BC\)

---

Câu 65: Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy các điểm D và E sao cho AD = BE. Qua D và E, vẽ các đường thẳng song song với BC, chúng cắt AC theo thứ tự ở M và N. Chứng minh rằng DM + EN = BC.

Hướng dẫn: Qua N, kẻ đường thẳng song song với AB.

Từ N kẻ đường thẳng song song với AB  cắt BC tại K. Nối EK.

Xét ∆BEK và ∆NKE, ta có:

\(\widehat {EKB} = \widehat {KEN}\) (so le trong vì EN // BC)

EK cạnh chung

\(\widehat {BEK} = \widehat {NKE}\) (so le trong vì NK // AB)

Suy ra: ∆BEK = ∆NKE (g.c.g)

Suy ra:  BE = NK (hai cạnh tương ứng)

               EN = BK (hai cạnh tương ứng)

Xét ∆ADM và ∆NKC, ta có:

\(\widehat A = \widehat {KNC}\) (đồng vị vì NK // AB)

AD = NK (vì cùng bằng BE)

\(\widehat {A{\rm{D}}M} = \widehat {NKC}\) (vì cùng bằng \(\widehat B\))

Suy ra: ∆ADM = ∆NKC (c.g.c)

=>DM = KC (hai cạnh tương ứng)

Mà BC = BK + KC. Suy ra: BC = EN + DM

Câu 66: Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 60^\circ \). Các tia phân giác của các góc B, C cắt nhau ở I và cắt AC, AB theo thứ tự ở D, E. Chứng minh rằng ID = IE.

Kẻ tia phân giác góc BIC

Trong ∆ABC, ta có:

\(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) (tổng 3 góc trong tam giác)

\( \Rightarrow \widehat B + \widehat C = 180^\circ  – \widehat A\)

                    \( = 180^\circ  – 60^\circ  = 120^\circ \)

\(\eqalign{
& \widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = {1 \over 2}\widehat B\left( {gt} \right) \cr
& \widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}} = {1 \over 2}\widehat C\left( {gt} \right) \cr} \)

Trong ∆BIC, ta có:

\(\widehat {BIC} = 180^\circ  – \left( {\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}}} \right) = 180^\circ  – \left( {{{\widehat B} \over 2} + {{\widehat C} \over 2}} \right) = 180^\circ  – 60^\circ  = 120^\circ \)

Kẻ tia phân giác \(\widehat {BIC}\) cắt cạnh BC tại K

Suy ra: \(\widehat {{I_2}} = \widehat {{I_3}} = {1 \over 2}\widehat {BIC} = 60^\circ \)

Ta có: \(\widehat {{I_1}} + \widehat {BIC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

\( \Rightarrow \widehat {{I_1}} = 180^\circ  – \widehat {BIC} = 180^\circ  – 120^\circ  = 60^\circ \)

\(\widehat {{I_4}} = \widehat {{I_1}} = 60^\circ \) (vì hai góc đối  đỉnh)

Xét ∆BIE và ∆BIK, ta có:

\(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\left( {gt} \right)\)

BI cạnh chung

\(\widehat {{I_1}} = \widehat {{I_2}} = 60^\circ \)

Suy ra: ∆BIE =  ∆BIK (g.c.g) => IE = IK (hai cạnh tương ứng)         (1)

Xét ∆CIK và ∆CID, ta có:

\(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\) (gt)

CI cạnh chung

\(\widehat {{I_3}} = \widehat {{I_4}} = 60^\circ \)

Suy ra: ∆CIK = ∆CID(g.c.g) => IK = ID (hai cạnh tương ứng)             (2)

Từ (1) và (2) suy ra: IE = ID.