Câu 103: Cho đoạn thẳng AB. Vẽ các cung tâm A và B có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại C và D. Chứng minh rằng CD là đường trung trực của AB.
Gọi H là giao điểm của AB và CD
Nối AC, AD, BC, BD
Xét ∆ACD và ∆BCD, ta có:
AC = BC (bán kính hai cung tròn bằng nhau)
AD = BD (bán kính hai cung tròn bằng nhau)
CD cạnh chung
Suy ra ∆ACD = ∆BCD (c.c.c)
Suy ra: \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\) (hai góc tương ứng)
Xét hai tam giác AHC và BHC, ta có:
AC = BC (bán kính hai cung tròn bằng nhau)
\(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\) (chứng minh trên)
CH cạnh chung
Suy ra: ∆AHC = ∆BHC (c.g.c)
Suy ra: AH = BH (hai cạnh tương ứng) (1)
Ta có: \(\widehat {{H_1}} = \widehat {{H_2}}\) (hai cạnh tương ứng)
\(\widehat {{H_1}} + \widehat {{H_2}} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
Suy ra: \(\widehat {{H_1}} = \widehat {{H_2}} = 90^\circ \Rightarrow C{\rm{D}} \bot AB\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra CD là đường trung trực của AB.
Câu 104: Cho tam giác ADE cân tại A. Trên cạnh DE lấy các điểm B và C sao cho \({\rm{D}}B = EC = {1 \over 2}DE\)
a) Tam giác ABC là tam giác gì? Chứng minh điều đó?
Advertisements (Quảng cáo)
b) Kẻ \(BM \bot A{\rm{D}}\) kẻ \(C{\rm{N}} \bot {\rm{AE}}\). Chứng minh rằng BM = CN.
c) Gọi I là giao điểm MB và NC. Tam giác IBC là tam giác gì? Chứng minh điều đó.
d) Chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc BAC.
Xét ∆ADE cân tại A nên \(\widehat D = \widehat E\)
Xét ∆ABD và ∆ACE, ta có:
AD = AE (gt)
\(\widehat D = \widehat E\) (chứng minh trên)
DB = EC (gt)
Suy ra: ∆ABD = ∆ACE (c.g.c)
Suy ra: AB = AC (hai cạnh tương ứng)
Vậy ∆ABC cân tại A.
b) Xét hai tam giác vuông BMD và CNE, ta có:
Advertisements (Quảng cáo)
\(\widehat {BM{\rm{D}}} = \widehat {CNE} = 90^\circ \)
BD = CE (gt)
\(\widehat D = \widehat E\) (chứng minh trên)
Suy ra: ∆BMD = ∆CNE (cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra: BM = CN (hai cạnh tương ứng)
c) Ta có: ∆BMD = ∆CNE (chứng minh trên)
Suy ra: \(\widehat {DBM} = \widehat {ECN}\) (hai góc tương ứng)
\(\widehat {DBM} = \widehat {IBC}\) (đối đỉnh)
\(\widehat {ECN} = \widehat {ICB}\) (đối đỉnh)
Suy ra: \(\widehat {IBC} = \widehat {ICB}\) hay ∆IBC cân tại I.
d) Xét ∆ABI và ∆ACI, ta có:
AB = AC (chứng minh trên)
IB = IC (vì ∆IBC cận tại I)
AI cạnh chung
Suy ra: ∆ABI = ∆ACI (c.c.c) \( \Rightarrow \widehat {BAI} = \widehat {CAI}\) (hai góc tương ứng)
Vậy AI là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\)
Câu 105: Cho hình dưới trong đó \({\rm{AE}} \bot BC\)
Tính AB biết AE = 4m, AC = 5m, BC = 9m.
Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông AEC, ta có:
\(A{C^2} = A{{\rm{E}}^2} + E{{\rm{C}}^2}\)
\(\eqalign{
& \Rightarrow E{C^2} = A{C^2} – A{{\rm{E}}^2} = {5^2} – {4^2} = 25 – 16 = 9 \cr
& \Rightarrow EC = 3\left( m \right) \cr} \)
Ta có: BC = BE + EC
BE = BC – EC = 9 – 3 = 6(m)
Áp dụng Pytago vào tam giác vuông AEB, ta có:
\(A{B^2} = A{{\rm{E}}^2} + E{B^2} = {4^2} + {6^2} = 16 + 36 = 52\)
Suy ra: \({\rm{A}}B = \sqrt {52} \left( m \right) \approx 7,2\left( m \right)\)
Câu 106: Tìm các tam giác bằng nhau trên hình bên.
Ta có: ∆ACB = ∆ ECD(c.g.c)
∆ACD = ∆ECB(c.g.c)
∆ABD = ∆EDB(c.g.c)
∆ABE = ∆EDA(c.g.c)
