Câu 61: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = AC. Qua A kẻ đường thẳng xy (B, C nằm cùng phía đối với xy). Kẻ BD và CE vuông góc với xy. Chứng minh rằng:
a) ∆BAD = ∆ACE
b) DE = BD + CE
a) Ta có: \(\widehat {BA{\rm{D}}} + \widehat {BAC} + \widehat {CA{\rm{E}}} = 180^\circ \) (kề bù)
Mà \(\widehat {BAC} = 90^\circ \left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {BA{\rm{D}}} + \widehat {CA{\rm{E}}} = 90^\circ \) (1)
Trong ∆AEC, ta có:
\(\widehat {A{\rm{E}}C} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {CA{\rm{E}}} + \widehat {AC{\rm{E}}}{\rm{ = 90}}^\circ \) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {BA{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{E}}}\)
Xét hai tam giác vuông AEC và BDA, ta có:
\(\widehat {A{\rm{E}}C} = \widehat {B{\rm{D}}A} = 90^\circ \)
AC = AB (gt)
\(\widehat {AC{\rm{E}}} = \widehat {BA{\rm{D}}}\) (chứng minh trên)
Suy ra: ∆AEC = ∆BDA (cạnh huyền, góc nhọn)
b) Ta có: ∆AEC = ∆BDA
=> AE = BD và EC = DA
Mà DE = DA + AE
Vậy: DE = CE + BD
Câu 62: Cho tam giác ABC. Vẽ ở phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông tại A là ABD, ACE có AB = AD, AC = AE. Kẻ AH vuông góc với BC, DM vuông góc với AH, EN vuông góc với AH. Chứng minh rằng:
a) DM = AH
b) MN đi qua trung điểm của DE
a) Ta có \(\widehat {BAH} + \widehat {BA{\rm{D}}} + \widehat {DAM} = 180^\circ \) (kề bù)
Advertisements (Quảng cáo)
Mà \(\widehat {BA{\rm{D}}} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {BAH} + \widehat {DAM} = 90^\circ \) (1)
Trong tam giác vuông AMD, ta có:
\(\widehat {AM{\rm{D }}} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {DAM} + \widehat {A{\rm{D}}M} = 90^\circ \left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {BAH} = \widehat {A{\rm{D}}M}\)
Xét hai tam giác vuông AMD và BHA, ta có:
\(\widehat {AM{\rm{D}}} = \widehat {BAH} = 90^\circ \)
AB = AD (gt)
\(\widehat {BAH} = \widehat {A{\rm{D}}M}\) (chứng minh trên)
Suy ra: ∆AMD = ∆BHA (cạnh huyền, góc nhọn)
Vậy: AH = DM (2 cạnh tương ứng) (3)
b) Ta có: \(\widehat {HAC} + \widehat {CA{\rm{E}}} + \widehat {E{\rm{A}}N} = 180^\circ \) (kề bù)
Mà \(\widehat {CA{\rm{E}}} = 90^\circ \left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {HAC} + \widehat {E{\rm{A}}N} = 90^\circ \) (4)
Trong tam giác vuông AHC, ta có:
\(\widehat {AHC} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {HAC} + \widehat {HCA} = 90^\circ \left( 5 \right)\)
Từ (4) và (5) suy ra: \(\widehat {HCA} = \widehat {E{\rm{A}}N}\)
Xét hai tam giác vuông AHC và ENA, ta có:
Advertisements (Quảng cáo)
\(\widehat {AHC} = \widehat {E{\rm{N}}A} = 90^\circ \)
AC = AE (gt)
\(\widehat {HCA} = \widehat {E{\rm{A}}N}\) (chứng minh trên)
Suy ra: ∆AHC = ∆ENA (cạnh huyền, góc nhọn)
Vậy AH = EN (2 cạnh tương ứng)
Từ (3) và (6) suy ra : DM = EN
Vì \(DM \bot AH\) và \(EN \bot AH\) nên DM // EN (2 đường thẳng cùng vuông góc đường thẳng thứ 3)
Gọi O là giao điểm MN và DE
Xét hai tam giác vuông DMO và ENO, ta có:
\(\widehat {DMO} = \widehat {EN{\rm{O}}} = 90^\circ \)
DM = EN (chứng minh trên)
\(\widehat {M{\rm{D}}O} = \widehat {NEO}\) (so le trong)
Suy ra: ∆DMO = ∆ENO (g.c.g) => OD = DE
Vậy MN đi qua trung điểm của DE.
Câu 63: Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB. Đường thẳng qua D và song song với BC cắt AC ở E, đường thẳng qua E và song song với AB cắt BC ở F. Chứng minh rằng:
a) AD = EF
b) ∆ADE =∆EFC
c) AE = EC
a) Xét ∆DBF và ∆FDE, ta có ;
\(\widehat {B{\rm{D}}F} = \widehat {DF{\rm{E}}}\) (so le trong vì EF // AB)
DF cạnh chung
\(\widehat {DFB} = \widehat {F{\rm{D}}E}\) (so le trong vì DE // BC)
Suy ra: ∆DBF = ∆FED(g.c.g) =>DB = EF (2 cạnh tương ứng)
Mà AD = DB (gt)
Vậy: AD = EF
b) Ta có: DE // BC (gt)
\( \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat B\) (đồng vị)
EF // AB (gt)
\( \Rightarrow \widehat {{F_1}} = \widehat B\) (đồng vị)
\(\widehat {{E_1}} = \widehat A\) (đồng vị)
Xét ∆ADE và ∆ EFC, ta có:
\(\widehat A = \widehat {{E_1}}\) (chứng minh trên)
AD = EF (chứng minh trên)
\(\widehat {{D_1}} = \widehat {{F_1}}\) (vì cùng bằng \(\widehat B\))
Suy ra: ∆ADE = ∆ EFC (g.c.g)
c) Vì ∆ADE = ∆ EFC (chứng minh trên)
Nên AE = EC (hai cạnh tương ứng)
