Câu 46: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với AB và bằng AB (D khác phía C đối với AB), vẽ đoạn thẳng AE vuông góc với AC và bằng AC (E khác phía B đối với AC)
Chứng minh rằng:
a) DC = BE
b) \({\rm{D}}C \bot BE\)
a) Xét ∆ABE và ∆ACD, ta có:
AB = AD (gt)
AE = AC (gt)
\(\eqalign{
& \widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {BAC} + 90^\circ \cr
& \widehat {CA{\rm{D}}} = \widehat {BAC} + 90^\circ \cr
& \Rightarrow \widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {CA{\rm{D}}} \cr} \)
Suy ra: ∆ABE = ∆ADC (c.g.c)
DC = BE (2 cạnh tương ứng)
b) Gọi giao điểm DC và AB là H, giao điểm của CD và BE là K
Ta có: ∆ABE = ∆ADC (chứng minh trên)
\(\widehat {ABE} = \widehat D\) (1)
Trong tam giác vuông AHD, ta có: \(\widehat {HA{\rm{D}}} = 90^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat D + \widehat {AH{\rm{D}}} = 90^\circ \) (tính chất tam giác vuông) (2)
Mà: \(\widehat {AH{\rm{D}}} = \widehat {KHB}\) (đối đỉnh) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {ABE} + \widehat {KHB} = 90^\circ \)
Advertisements (Quảng cáo)
Trong ∆KHB, ta có:
\(\widehat {KHB} + \widehat {ABE} + \widehat {BKH} = 180^\circ \) (tổng 3 góc trong tam giác)
\( \Rightarrow \widehat {BKH} = 180^\circ – \left( {\widehat {ABE} + \widehat {BKH}} \right) = 180^\circ – 90^\circ = 90^\circ \)
Vậy \(DC \bot BE\).
Câu 47: Cho tam giác ABC có \(\widehat B = 2\widehat C\). Tia phân giác của góc B cắt AC ở D. Trên tia đối của tia BD lấy điểm E sao cho BE = AC. Trên tia đối của tia CB lấy điểm K sao cho CK = AB. Chứng minh rằng AE = AK
Ta có: \(\widehat B = 2\widehat {{C_1}}\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {{C_1}} = {1 \over 2}\widehat B\)
Lại có \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (vì BD là tia phân giác)
=> \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{B_1}}\) (1)
\(\widehat {{C_1}} + \widehat {{C_2}} = 180^\circ \) (kề bù) (2)
\(\widehat {{B_1}} + \widehat {{B_3}} = 180^\circ \) (kề bù) (3)
Advertisements (Quảng cáo)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {{C_2}} = \widehat {{B_3}}\)
Xét ∆ABE và ∆ACK, ta có:
AB = KC (gt)
\(\widehat {{B_3}} = \widehat {{C_2}}\) (chứng minh trên)
BE = CA (gt)
Suy ra: ∆ABE = ∆ KCA (c.g.c)
Vậy: AE = AK (2 cạnh tương ứng)
Câu 48: Cho tam giác ABC, K là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia KC lấy điểm M sao cho KM = KC. Trên tia đối của tia EB lấy điểm N sao cho EN = EB. Chứng minh rằng A là trung điểm của MN.
Xét ∆AKM và ∆BKC, có:
AK = BK (gt)
\(\widehat {AKM} = \widehat {BKC}\) (đối đỉnh)
KM = KC (gt)
Suy ra: ∆AKM = ∆ BKC(c.g.c)
\( \Rightarrow \) AM = BC (2 cạnh tương ứng)
\(\widehat {AMK} = \widehat {BCK}\) (2 góc tương ứng)
Suy ra: AM // BC (vì có cặp góc so le trong bằng nhau)
Xét ∆AEN và ∆ CEB, ta có:
AE = CE (gt)
\(\widehat {A{\rm{E}}N} = \widehat {CEB}\) (đối đỉnh)
EN = EB(gt)
Suy ra: ∆AEN = ∆ CEB(c.g.c)
=>AN = BC (2 cạnh tương ứng)
\(\widehat {E{\rm{A}}N} = \widehat {ECB}\) (2 góc tương ứng)
Suy ra: AN // BC (vì có cặp góc so le trong bằng nhau)
Ta có: AM //BC và AN // BC nên hai đường thẳng AM và AN trùng nhau hay M, A, N thẳng hàng. (1)
AM = AN (vì cùng bằng BC) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: A là trung điểm của MN.
