Câu 86: Tính:
a) \({\rm{}}{2 \over 3} + {1 \over 5}.{{10} \over 7}\)
b) \({7 \over {12}} – {{27} \over 1}.{1 \over {18}}\)
c) \(\left( {{{23} \over {41}} – {{15} \over {82}}} \right).{{41} \over {25}}\)
d) \({\rm{}}\left( {{4 \over 5} + {1 \over 2}} \right).\left( {{3 \over {13}} – {8 \over {13}}} \right)\)
a) \({\rm{}}{2 \over 3} + {1 \over 5}.{{10} \over 7} \)
\(= {2 \over 3} + {{1.10} \over {5.7}} \)
\(= {2 \over 3} + {2 \over 7} \)
\(= {{14} \over {21}} + {6 \over {21}}\)
\(= {{20} \over {21}}\)
b) \({7 \over {12}} – {{27} \over 1}.{1 \over {18}} \)
\(= {7 \over 2} – {{27.1} \over {7.18}} \)
\(= {7 \over 2} – {3 \over {14}} \)
\(= {{49} \over {14}} + {{ – 3} \over {14}} \)
Advertisements (Quảng cáo)
\(= {{46} \over {14}} = {{23} \over 7}\)
c) \(\left( {{{23} \over {41}} – {{15} \over {82}}} \right).{{41} \over {25}} \)
\(= \left( {{{46} \over {82}} + {{ – 15} \over {82}}} \right).{{41} \over {25}} \)
\(= {{31} \over {82}}.{{41} \over {25}} \)
\(= {{31.41} \over {82.25}} = {{31} \over {50}}\)
d) \({\rm{}}\left( {{4 \over 5} + {1 \over 2}} \right).\left( {{3 \over {13}} – {8 \over {13}}} \right) \)
\(= \left( {{8 \over {10}} + {5 \over {10}}} \right).\left( {{3 \over {13}} + {{ – 8} \over {13}}} \right)\)
\(= {{13} \over {10}}.{{ – 5} \over {13}} = {{13.( – 5)} \over {10.13}} = {{ – 1} \over 2}\)
Câu 87: a) Cho hai phân số \({1 \over n}\) và \({1 \over {n + 1}}\left( {n \in Z,n > 0} \right)\). Chứng tỏ rằng tích của hai phân số này bằng hiệu của chúng.
b) Áp dụng kết quả trên để tính giá trị các biểu thức sau:
Advertisements (Quảng cáo)
\({\rm{A}} = {1 \over 2}.{1 \over 3} + {1 \over 3}.{1 \over 4} + {1 \over 4}.{1 \over 5} + {1 \over 5}.{1 \over 6} + {1 \over 6}.{1 \over 7} + {1 \over 7}.{1 \over 8} + {1 \over 8}.{1 \over 9}\)
\(B = {1 \over {30}} + {1 \over {42}} + {1 \over {56}} + {1 \over {72}} + {1 \over {90}} + {1 \over {110}} + {1 \over {132}}\)
a) \({\rm{}}{1 \over n}.{1 \over {n + 1}} = {1 \over {n(n + 1)}}\) (1) (n ∈ Z, n ≠ 0)
\({1 \over n} – {1 \over {n + 1}} = {1 \over n} + {{ – 1} \over {n + 1}} \)
\(= {{n + 1} \over {n(n + 1)}} + {{ – n} \over {n(n + 1)}} = {{n + 1 – n} \over {n(n + 1)}} \)
\(= {1 \over {n(n + 1)}}\) (2)
Từ (1) và (2) ta có: \({1 \over n}.{1 \over {n + 1}} = {1 \over n} – {1 \over {n + 1}}\left( {n \in Z,n > 0} \right)\)
b) Áp dụng kết quả câu a ta có:
\({\rm{A}} = {1 \over 2}.{1 \over 3} + {1 \over 3}.{1 \over 4} + {1 \over 4}.{1 \over 5} + {1 \over 5}.{1 \over 6} + {1 \over 6}.{1 \over 7} + {1 \over 7}.{1 \over 8} + {1 \over 8}.{1 \over 9}\)
\(\eqalign{
& = {1 \over 2} – {1 \over 3} + {1 \over 3} – {1 \over 4} + {1 \over 4} – {1 \over 5} + {1 \over 5} – {1 \over 6} + {1 \over 6} – {1 \over 7} + {1 \over 7} – {1 \over 8} + {1 \over 8} – {1 \over 9} \cr
& = {1 \over 2} – {1 \over {9}} = {{9} \over {18}} + {{ – 2} \over {18}} = {7 \over {18}} \cr} \)
\(B = {1 \over {30}} + {1 \over {42}} + {1 \over {56}} + {1 \over {72}} + {1 \over {90}} + {1 \over {110}} + {1 \over {132}}\)
\(\eqalign{
& = {1 \over 5}.{1 \over 6} + {1 \over 6}.{1 \over 7} + {1 \over 7}.{1 \over 8} + {1 \over 8}.{1 \over 9} + {1 \over 9}.{1 \over {10}} + {1 \over {10}}.{1 \over {11}} + {1 \over {11}}.{1 \over {12}} \cr
& = {1 \over 5} – {1 \over 6} + {1 \over 6} – {1 \over 7} + {1 \over 7} – {1 \over 8} + {1 \over 8} – {1 \over 9} + {1 \over 9} – {1 \over {10}} + {1 \over {10}} – {1 \over {11}} + {1 \over {11}} – {1 \over {12}} \cr
& = {1 \over 5} – {1 \over {12}} = {{12} \over {60}} + {{ – 5} \over {60}} = {7 \over {60}} \cr} \)
Câu 88: Cho hai phân số \({a \over b}\) và phân số \({a \over c}\) có b + c = a (a, b, c ∈ Z, b≠0, c≠0)
Chứng tỏ rằng tích của hai phân số này bằng tổng của chúng. Thử lại với a = 8, b= -3
\({a \over b} + {a \over c} = {{ac} \over {bc}} + {{ab} \over {bc}} = {{a(b + c)} \over {bc}}\) mà a = (b+c)
Suy ra : \({a \over b} + {a \over c} = {{a.a} \over {b.c}} = {{{a^2}} \over {bc}}\) (1)
\({a \over b}.{a \over c} = {{a.a} \over {b.c}} = {{{a^2}} \over {bc}}\) (2)
Từ (1) và(2) suy ra: \({a \over b} + {a \over c} = {a \over b}.{a \over c}\) với a = b + c và a, b, c ∈ Z, b≠0, c≠0
Với a = 8 và b= -3 \( \Rightarrow \) c= a-b = 8 – (-3) = 8 + 3 = 11
\(\eqalign{
& {8 \over { – 3}}.{8 \over {11}} = {{8.8} \over { – 3.11}} = {{64} \over { – 33}} = {{ – 64} \over {33}} \cr
& {8 \over { – 3}} + {8 \over {11}} = {{ – 8} \over 3} + {8 \over {11}} = {{ – 88} \over {33}} + {{24} \over {33}} = {{ – 88 + 24} \over {33}} = {{ – 64} \over {33}} \cr} \)
Vậy \({8 \over { – 3}}.{8 \over {11}} = {8 \over { – 3}} + {8 \over {11}}\)
