Câu 100: Tính tích sau rồi tìm số nghịch đảo của kết quả:
\(T = \left( {1 – {1 \over 3}} \right).\left( {1 – {1 \over 5}} \right).\left( {1 – {1 \over 7}} \right).\left( {1 – {1 \over 9}} \right).\left( {1 – {1 \over {11}}} \right)\left( {1 – {1 \over 2}} \right).\left( {1 – {1 \over 4}} \right).\left( {1 – {1 \over 6}} \right).\left( {1 – {1 \over 8}} \right).\left( {1 – {1 \over {10}}} \right)\)
\(T = \left( {1 – {1 \over 3}} \right).\left( {1 – {1 \over 5}} \right).\left( {1 – {1 \over 7}} \right).\left( {1 – {1 \over 9}} \right).\left( {1 – {1 \over {11}}} \right)\left( {1 – {1 \over 2}} \right).\left( {1 – {1 \over 4}} \right).\left( {1 – {1 \over 6}} \right).\left( {1 – {1 \over 8}} \right).\left( {1 – {1 \over {10}}} \right)\)
\(\eqalign{
& = {2 \over 3}.{4 \over 5}.{6 \over 7}.{8 \over 9}.{{10} \over {11}}.{1 \over 2}.{3 \over 4}.{5 \over 6}.{7 \over 8}.{9 \over {10}} \cr
& = \left( {{2 \over 3}.{1 \over 2}} \right).\left( {{4 \over 5}.{3 \over 4}} \right).\left( {{6 \over 7}.{5 \over 6}} \right).\left( {{8 \over 9}.{7 \over 8}} \right).{9 \over {10}}.{{10} \over {11}} \cr
& = \left( {{2 \over 3}.{1 \over 2}} \right).\left( {{4 \over 5}.{3 \over 4}} \right).\left( {{6 \over 7}.{5 \over 6}} \right).\left( {{8 \over 9}.{7 \over 8}} \right).{9 \over {10}}.{{10} \over {11}} \cr
& = {1 \over 3}.{3 \over 5}.{5 \over 7}.{7 \over 9}.{9 \over {10}}.{{10} \over {11}} \cr
& = {1 \over {11}} \cr} \)
\(T = {1 \over {11}}\) có số nghịch đảo là 11
Câu 101: Chứng minh rằng tổng của một phân số dương với số nghịch đảo của nó thì không nhỏ hơn 2.
Gọi phân số \({a \over b}\) với a > 0, b > 0. Không mất tính tổng quát giả sử 0 < a ≤ b.
Đặt b = a + m (m ∈ Z, m ≥ 0)
Số nghịch đảo của \({a \over b}\) là \({b \over a}\) ta có:
Advertisements (Quảng cáo)
\({a \over b} + {b \over a} = {a \over {a + m}} + {{a + m} \over a} \)
\(= {a \over {a + m}} + {m \over a} + {a \over a} \)
\(= {a \over {a + m}} + {m \over a} + 1\) (1)
Ta có: \({m \over {a}} \ge {m \over {a + m}}\) (dấu bằng xảy ra khi m = 0)
Suy ra: \({a \over {a + m}} + {m \over a} \ge {a \over {a + m}} + {m \over {a + m}} = {{a + m} \over {a + m}} = 1\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \({a \over b} + {b \over a} \ge 1 + 1 = 2\), dấu bằng xảy ra khi m = 0 hay a = b.
Advertisements (Quảng cáo)
Câu 102: Viết số nghịch đảo của -2 dưới dạng tổng các nghịch đảo của ba số nguyên khác nhau.
Số nghịch đảo của -2 là \({1 \over { – 2}}\)
Ta có:
\({1 \over { – 2}} = {{ – 1} \over 2} = {{ – 6} \over {12}} \)
\(= {{\left( { – 3} \right) + \left( { – 2} \right) + \left( { – 1} \right)} \over {12}} \)
\(= {{ – 1} \over 4} + {{ – 1} \over 6} + {{ – 1} \over {12}} \)
\(= {1 \over { – 4}} + {1 \over { – 6}} + {1 \over { – 12}}\)
Ta có \({1 \over { – 4}}\) là nghịch đảo của -4; \({1 \over { – 6}}\) là nghịch đảo của -6; \({1 \over { – 12}}\) là nghịch đảo của -12.
Vậy số nghịch đảo của -2 được viết dưới dạng tổng nghịch đảo của ba số nguyên là -4; -6; -12.
Câu 103: Tính các thương số sau đây rồi sắp xếp chúng theo thứ tự tăng dần:
$${3 \over 2}:{9 \over 4};{{48} \over {55}}:{{12} \over {11}};{7 \over {10}}:{7 \over 5};{6 \over 7}:{8 \over 7}$$
\(\eqalign{
& {3 \over 2}:{9 \over 4} = {3 \over 2}.{4 \over 9} = {2 \over 3};{{48} \over {55}}:{{12} \over {11}} = {{48} \over {55}}.{{11} \over {12}} = {4 \over 5} \cr
& {7 \over {10}}:{7 \over 5} = {7 \over {10}}.{5 \over 7} = {1 \over 2};{6 \over 7}:{8 \over 7} = {6 \over 7}.{7 \over 8} = {3 \over 4} \cr
& {2 \over 3} = {{40} \over {60}};{4 \over 5} = {{48} \over {60}};{1 \over 2} = {{30} \over {60}};{3 \over 4} = {{45} \over {60}} \cr} \)
\({{30} \over {60}} < {{40} \over {60}} < {{45} \over {60}} < {{48} \over {60}}\). Vậy \({1 \over 2} < {2 \over 3} < {3 \over 4} < {4 \over 5}\)
