Bài 3.24: Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {1 \over x}\), y = 0, x = 1 và x = a (a > 1). Gọi thể tích đó là V(a). Xác định thể tích của vật thể khi \(a \to + \infty \) (tức là \(\mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } V(a)\)).
\(V(a) = \pi (1 – {1 \over a})\) và \(\mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } V(a) = \pi \)
Câu 3.25: Một hình phẳng được giới hạn bởi \(y = {e^{ – x}},y = 0,x = 0,x = 1\). Ta chia đoạn [0; 1] thành n phần bằng nhau tạo thành một hình bậc thang (bởi n hình chữ nhật con như Hình bên).
a) Tính diện tích Sn của hình bậc thang (tổng diện tích của n hình chữ nhật con).
b) Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n}\) và so sánh với cách tính diện tích hình phẳng này bằng công thức tích phân.
Advertisements (Quảng cáo)
a) \({S_n} = {{{1 \over n}(1 – {e^{ – 1}})} \over {{e^{{1 \over n} – 1}}}}\) . HD: Theo hình 80 ta có:
\({S_n} = {1 \over n}{\rm{[}}{e^{ – {1 \over n}}} + {e^{ – 2{1 \over n}}} + … + {e^{ – {n \over n}}}{\rm{]}} = {1 \over n}{e^{ – {1 \over n}}}{{1 – {e^{ – 1}}} \over {1 – {e^{ – {1 \over n}}}}} = {{{1 \over n}(1 – {e^{ – 1}})} \over {{e^{{1 \over n}}} – 1}}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n} = 1 – {e^{ – 1}}\)
Mặt khác \(\int\limits_0^1 {{e^{ – x}}dx = 1 – {e^{ – 1}}} \)
Câu 3.26: Trong các cặp hình phẳng giới hạn bởi các đường sau, cặp nào có diện tích bằng nhau?
Advertisements (Quảng cáo)
a) \({\rm{\{ }}y = x + \sin x,y = x\) với \(0 \le x \le \pi {\rm{\} }}\) và \({\rm{\{ }}y = x + \sin x,y = x\) với \(\pi \le x \le 2\pi {\rm{\} }}\)
b) \(\;{\rm{\{ }}y = \sin x,y = 0\) với \(0 \le x \le \pi {\rm{\} }}\) và \({\rm{\{ }}y = \cos x,y = 0\) với \(0 \le x \le \pi {\rm{\} }}\) ;
c) {y = 2x – x2 , y = x} và {y = 2x – x2 , y = 2 – x };
d) \({\rm{\{ }}y = \log x,y = 0,x = 10\} \) và \({\rm{\{ }}y = {10^x},x = 0,y = 10\} \);
e) \({\rm{\{ }}y = \sqrt x ,y = {x^2}{\rm{\} }}\) và \({\rm{\{ }}y = \sqrt {1 – {x^2}} ,y = 1 – x{\rm{\} }}\)
a) Đúng
b) Đúng
c) Đúng
d) Đúng
e) Sai
