Bài 2.33: Giải các phương trình logarit sau:
a) \(\log x + \log {x^2} = \log 9x\)
b) \(\log {x^4} + \log 4x = 2 + \log {x^3}$\)
c) \({\log _4}{\rm{[}}(x + 2)(x + 3){\rm{]}} + {\log _4}\frac{{x – 2}}{{x + 3}} = 2\)
d) \({\log _{\sqrt 3 }}(x – 2){\log _5}x = 2{\log _3}(x – 2)\)
a) Với điều kiện x > 0, ta có
\(\log x + 2\log x = \log 9 + \log x\)
\(\Leftrightarrow \log x = \log 3 \Leftrightarrow x = 3\)
b) Với điều kiện x > 0, ta có
\(4\log x + \log 4 + \log x = 2\log 10 + 3\log x\)
\( \Leftrightarrow \log x = \log 5 \Leftrightarrow x = 5\)
c) Ta có điều kiện của phương trình đã cho là:
\(\left\{ {\matrix{{(x + 2)(x + 3) > 0} \cr {{{x – 2} \over {x + 3}} > 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{\left[ {\matrix{{x < – 3} \cr {x > – 2} \cr} } \right.} \cr {\left[ {\matrix{{x < – 3} \cr {x > 2} \cr} } \right.} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x < – 3} \cr {x > 2} \cr} (1)} \right.\)
Khi đó, phương trình đã cho tương đương với:
\({\log _4}{\rm{[}}(x + 2)(x + 3)\frac{{x – 2}}{{x + 3}}{\rm{]}}\)
\(= {\log _4}16 \Leftrightarrow {x^2} – 4 = 16 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2\sqrt 5 }\\
{x = – 2\sqrt 5 }
\end{array}} \right.\)
Cả hai nghiệm trên đều thỏa mãn điều kiện (1).
d) Với điều kiện x > 2, ta có phương trình
\(2{\log _3}(x – 2)({\log _5}x – 1) = 0\)
Advertisements (Quảng cáo)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{{\log }_3}(x – 2) = 0}\\
{{{\log }_5}x – 1 = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 3}\\
{x = 5}
\end{array}} \right.} \right.\)
Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện x > 2.
Bài 2.34: Giải các phương trình sau bằng phương pháp đồ thị:
a) \({\log _{\frac{1}{3}}}x = 3x\)
b) \({\log _3}x = – x + 11\)
c) \({\log _4}x = \frac{4}{x}\)
d) \({16^x} = {\log _{\frac{1}{2}}}x\)
a) Vẽ đồ thị của hàm số \({\log _{\frac{1}{3}}}x = 3x\) và đường thẳng y = 3x trên cùng một hệ trục tọa độ (H.61), ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ \(x = \frac{1}{3}\)
Thử lại, ta thấy giá trị này thỏa mãn phương trình đã cho. Mặt khác, hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{3}}}x\) luôn nghịch biến, hàm số y = 3x luôn đồng biến. Vậy \(x = \frac{1}{3}\) là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
b) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = {\log _3}x\) và đường thẳng y = – x + 11 trên cùng một hệ trục tọa độ (H.62) , ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 9. Lập luận tương tự câu a), ta cũng có đây là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Advertisements (Quảng cáo)
c) Vẽ đồ thị của các hàm số \(y = {\log _4}x\) và \(y = \frac{4}{x}\) trên cùng một hệ trục tọa độ (H.63), ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 4. Ta cũng có hàm số \(y = {\log _3}x\) luôn đồng biến, hàm số \(y = \frac{4}{x}\) luôn nghịch biến trên \((0; + \infty )\) . Do đó, x = 4 là nghiệm duy nhất.
d) Vẽ đồ thị của các hàm số \(y = {16^x}\) và \(y = {\log _{\frac{1}{2}}}x\) trên cùng một hệ trục tọa độ (H.64), ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ \(x = \frac{1}{4}\) . Thử lại, ta thấy \(x = \frac{1}{4}\) thỏa mãn phương trình đã cho. Mặt khác, hàm số luôn đồng biến, hàm số luôn nghịch biến.
Vậy \(x = \frac{1}{4}\) là nghiệm duy nhất của phương trình.
Bài 2.35: Giải các phương trình logarit :
a) \({\log _2}({2^x} + 1).{\log _2}({2^{x + 1}} + 2) = 2\)
b) \({x^{\log 9}} + {9^{\log x}} = 6\)
c) \({x^{3{{\log }^3}x – \frac{2}{3}\log x}} = 100\sqrt[3]{{10}}\)
d) \(1 + 2{\log _{x + 2}}5 = {\log _5}(x + 2)\)
a) \({\log _2}({2^x} + 1).{\log _2}{\rm{[}}2({2^x} + 1){\rm{]}} = 2\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}({2^x} + 1).{\rm{[}}1 + {\log _2}({2^x} + 1){\rm{]}} = 2\)
Đặt \(t = {\log _2}({2^x} + 1)\) , ta có phương trình
\(t(1 + t) = 2 ⇔ {t^2} + t – 2 = 0\)
\(\eqalign{& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{t = 1} \cr {t = – 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{{{\log }_2}({2^x} + 1) = 1} \cr {{{\log }_2}({2^x} + 1) = – 2} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{{2^x} + 1 = 2} \cr {{2^x} + 1 = {1 \over 4}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{{2^x} = 1} \cr {{2^x} = – {3 \over 4}(l)} \cr} } \right. \Leftrightarrow x = 0 \cr} \)
b) Với điều kiện x > 0, ta có: \(\log ({x^{\log 9}}) = \log ({9^{\log x}})\)
\(\log ({x^{\log 9}}) = \log 9.\log x\) và \(\log ({9^{\log x}}) = \log x.\log 9\)
Nên \(\log ({x^{\log 9}}) = \log ({9^{\log x}})\)
Suy ra:
\({t^4} + 14{t^2} – 32t + 17 = 0\)
\( \Leftrightarrow {(t – 1)^2}({t^2} + 2t + 17) = 0 \Leftrightarrow t = 1\) \({x^{\log 9}} = {9^{\log x}}\)
Đặt \(t = {x^{\log 9}}\) , ta được phương trình \(2t = 6 ⇔ t = 3 ⇔ {x^{\log 9}} = 3\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \log ({x^{\log 9}}) = \log 3 \cr
& \Leftrightarrow \log 9.\log x = \log 3 \cr
& \Leftrightarrow \log x = {{\log 3} \over {\log 9}} \cr
& \Leftrightarrow \log x = {1 \over 2} \cr}\)
\(\Leftrightarrow x = \sqrt {10} \) (thỏa mãn điều kiện x > 0)
c) Với điều kiện x > 0, lấy logarit thập phân hai vế của phương trình đã cho, ta được:
\((3{\log ^3}x – \frac{2}{3}\log x).\log x = \frac{7}{3}\)
Đặt \(t = \log x\) , ta được phương trình \(3{t^4} – \frac{2}{3}{t^2} – \frac{7}{3} = 0\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 9{t^4} – 2{t^2} – 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{t^2} = 1 \hfill \cr
{t^2} = – {7 \over 9}\left( {loại} \right) \hfill \cr} \right.\left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = – 1 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\log x = 1 \hfill \cr
\log x = – 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 10 \hfill \cr
x = {1 \over {10}} \hfill \cr} \right. \cr} \)
d) Đặt \(t = {\log _5}(x + 2)\) với điều kiện \(x + 2{\rm{ }} > 0,\,\,x + 2 \ne 1\) , ta có:
\(\eqalign{& 1 + {2 \over t} = t \Leftrightarrow {t^2} – t – 2 = 0,t \ne 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{t = – 1} \cr {t = 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{{{\log }_5}(x + 2) = – 1} \cr {{{\log }_5}(x + 2) = 2} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x + 2 = {1 \over 5}} \cr {x + 2 = 25} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = – {9 \over 5}} \cr {x = 23} \cr} } \right.} \right. \cr} \)
