Trang Chủ Bài tập SGK lớp 12 Bài tập Toán 12

Bài 9, 10, 11, 12 trang 144 Giải tích 12: Số phức

Ôn tập chương VI – Số phức. Giải bài 9, 10, 11, 12 trang 144 SGK Giải tích 12. Giải tích phương trình sau trên tập số phức; Giải các phương trình sau trên tập số phức

Bài 9: Giải tích phương trình sau trên tập số phức

a) \((3 + 4i)z + (1 – 3i) = 2 + 5i\)

b) \((4 + 7i)z – (5 – 2i) = 6iz\)

a) \((3 + 4i)z = (2 + 5i) – (1 – 3i) = 1 + 8i\)

Vậy \(z = {{1 + 8i} \over {3 + 4i}} = {{(1 + 8i)(3 – 4i)} \over {25}} = {{35} \over {25}} + {{20} \over {25}}i = {7 \over 5} + {4 \over 5}i\)

b) \((4 + 7i)z – (5 – 2i) = 6iz ⇔ (4 + 7i)z – 6iz  = 5 – 2i\)

\(⇔ (4 + i)z = 5 – 2i\)

\( \Leftrightarrow z = {{5 – 2i} \over {4 + i}} = {{(5 – 2i)(4 – i)} \over {17}} \Leftrightarrow z = {{18} \over {17}} – {{13} \over {17}}i\)


Bài 10: Giải các phương trình sau trên tập số phức

a) \(3z^2+ 7z + 8 = 0\)

b) \(z^4– 8 = 0\)

Advertisements (Quảng cáo)

c) \(z^4– 1 = 0\)

a) \(3z^2+ 7z + 8 = 0\) có \(Δ = 49 – 4.3.8 = -47\)

Vậy phương trình có hai nghiệm là: \({z_{1,2}} = {{ – 7 \pm i\sqrt {47} } \over 6}\)

b) \(z^4– 8 = 0\)

Đặt \(Z = z^2\), ta được phương trình : \(Z^2 – 8 = 0\)

Suy ra: \(Z = ± \sqrt8\)

Advertisements (Quảng cáo)

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là: \({z_{1,2}} =  \pm \root 4 \of 8 ,{z_{3,4}} =  \pm i\root 4 \of 8 \)

c) \(z^4– 1 = 0\)\(  ⇔ (z^2– 1)(z^2+ 1) = 0\)

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là \(±1\) và \(±i\)


Bài 11: Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng \(3\) và tích của chúng bằng \(4\).

Giả sử hai số cần tìm là \(z_1\) và \(z_2\).

Ta có:     \(z_1 + z_2 = 3\); \(z_1. z_2 = 4\)

Rõ ràng, \(z_1, z_2\) là các nghiệm của phương trình:

 \((z – z_1)(z – z_2) = 0\) hay \(z^2– (z_1 + z_2)z + z_1. z_2 = 0\)

Vậy  \(z_1, z_2\) là các nghiệm của phương trình: \(z^2 – 3z + 4 = 0\)

Phương trình có \(Δ = 9 – 16 = -7\)

Vậy hai số phức cần tìm là: \({z_1} = {{3 + i\sqrt 7 } \over 2},{z_2} = {{3 – i\sqrt 7 } \over 2}\)


Bài 12: Cho hai số phức \(z_1, z_2\). Biết rằng \(z_1 + z_2\) và \(z_1. z_2\) là hai số thực. Chứng minh rằng \(z_1, z_2\) là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực.

Đặt \(z_1 + z_2 = a\); \(z_1. z_2 = b; a, b ∈ \mathbb R\)

Khi đó, \(z_1\) và \(z_2\) là hai nghiệm của phương trình

\((z – z_1)(z – z_2) = 0\) hay \(z^2– (z_1 + z_2)z + z_1. z_2 = 0 ⇔ z^2 – az + b = 0\)

Đó là phương trình bậc hai đối với hệ số thực. Suy ra điều phải chứng minh.

Advertisements (Quảng cáo)