Bài 4: Cho \(a, b\) là những số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:
a) \({{{a^{{4 \over 3}}}\left( {{a^{{{ – 1} \over 3}}} + {a^{{2 \over 3}}}} \right)} \over {{a^{{1 \over 4}}}\left( {{a^{{3 \over 4}}} + {a^{{{ – 1} \over 4}}}} \right)}}\) ;
b) \({{{b^{{1 \over 5}}}\left( {\root 5 \of {{b^4}} – \root 5 \of {{b^{ – 1}}} } \right)} \over {{b^{{2 \over 3}}}\left( {\root 3 \of b – \root 3 \of {{b^{ – 2}}} } \right)}};\)
c) \({{{a^{{1 \over 3}}}{b^{{{ – 1} \over 3}}} – {a^{{{ – 1} \over 3}}}{b^{{1 \over 3}}}} \over {\root 3 \of {{a^2}} – \root 3 \of {{b^2}} }}\);
d) \({{{a^{{1 \over 3}}}\sqrt b + {b^{{1 \over 3}}}\sqrt a } \over {\root 6 \of a + \root 6 \of b }}\)
a) \({{{a^{{4 \over 3}}}\left( {{a^{{{ – 1} \over 3}}} + {a^{{2 \over 3}}}} \right)} \over {{a^{{1 \over 4}}}\left( {{a^{{3 \over 4}}} + {a^{{{ – 1} \over 4}}}} \right)}}\) \( = {{{a^{{4 \over 3}}}{a^{{{ – 1} \over 3}}} + {a^{{4 \over 3}}}{a^{{2 \over 3}}}} \over {{a^{{1 \over 4}}}{a^{{3 \over 4}}} + {a^{{1 \over 4}}}{a^{{{ – 1} \over 4}}}}}\)
\( = {{{a^{{4 \over 3} – {1 \over 3}}} + {a^{{4 \over 3} + {2 \over 3}}}} \over {{a^{{1 \over 4} + {3 \over 4}}} + {a^{{1 \over 4} + {{ – 1} \over 4}}}}} = {{{a^1} + {a^2}} \over {{a^1} + {a^0}}} = {{a\left( {1 + a} \right)} \over {a + 1}} = a\)
Advertisements (Quảng cáo)
b) \({{{b^{{1 \over 5}}}\left( {\root 5 \of {{b^4}} – \root 5 \of {{b^{ – 1}}} } \right)} \over {{b^{{2 \over 3}}}\left( {\root 3 \of b – \root 3 \of {{b^{ – 2}}} } \right)}} = {{{b^{{1 \over 5}}}\left( {{b^{{4 \over 5}}} – {b^{{{ – 1} \over 5}}}} \right)} \over {{b^{{2 \over 3}}}\left( {{b^{{1 \over 3}}} – {b^{{{ – 2} \over 3}}}} \right)}}\)
\(= {{{b^{{1 \over 5} – {4 \over 5}}} – {b^{{1 \over 5} – {1 \over 5}}}} \over {{b^{{2 \over 3} + {1 \over 3}}} – {b^{{2 \over 3} – {2 \over 3}}}}} = {{b – 1} \over {b – 1}} = 1\) ( Với điều kiện b ≠ 1)
c) \({{{a^{{1 \over 3}}}{b^{{{ – 1} \over 3}}} – {a^{{{ – 1} \over 3}}}{b^{{1 \over 3}}}} \over {\root 3 \of {{a^2}} – \root 3 \of {{b^2}} }}\) \(= {{{a^{{{ – 1} \over 3}}}{b^{{{ – 1} \over 3}}}\left( {{a^{{2 \over 3}}} – {b^{{2 \over 3}}}} \right)} \over {{a^{{2 \over 3}}} – {b^{{2 \over 3}}}}}\)
\( = {a^{{{ – 1} \over 3}}}{b^{{{ – 1} \over 3}}} = {1 \over {{a^{{1 \over 3}}}{b^{{1 \over 3}}}}} = {1 \over {\root 3 \of {ab} }}\) ( với điều kiện a ≠ b).
Advertisements (Quảng cáo)
d) \({{{a^{{1 \over 3}}}\sqrt b + {b^{{1 \over 3}}}\sqrt a } \over {\root 6 \of a + \root 6 \of b }}\) \(= {{{a^{{1 \over 3}}}{b^{{1 \over 2}}} + {b^{{1 \over 3}}}{a^{{1 \over 2}}}} \over {{a^{{1 \over 6}}} + {b^{{1 \over 6}}}}}\)
\(= {{{a^{{1 \over 3}}}{b^{{1 \over 2}}} + {b^{{1 \over 3}}}{a^{{1 \over 2}}}} \over {{a^{{1 \over 6}}} + {b^{{1 \over 6}}}}} = {{{a^{{2 \over 6}}}{b^{{3 \over 6}}} + {b^{{2 \over 6}}}{a^{{3 \over 6}}}} \over {{a^{{1 \over 6}}} + {b^{{1 \over 6}}}}}\)
\(= {{{a^{{2 \over 6}}}{b^{{2 \over 6}}}\left( {{a^{{1 \over 6}}} + {b^{{1 \over 6}}}} \right)} \over {{a^{{1 \over 6}}} + {b^{{1 \over 6}}}}} = {a^{{2 \over 6}}}{b^{{2 \over 6}}} = {a^{{1 \over 3}}}{b^{{1 \over 3}}} = \root 3 \of {ab} .\)
Bài 5: Chứng minh rằng:
a) \(\left ( \frac{1}{3} \right )^{2\sqrt{5}}\) < \(\left ( \frac{1}{3} \right )^{3\sqrt{2}}\);
b) \(7^{\sqrt[6]{3}}\) > \(7^{\sqrt[3]{6}}\).
Các em học sinh nên sử dụng các tính chất của lũy thừa dể giải bài toán này
a) ta có \(2\sqrt5\)= \(\sqrt{2^{2}.5}= \sqrt{20}\) ; \(3\sqrt2\) = \(\sqrt{3^{2}.2}\)= \(\sqrt {18}=> 2\sqrt5 > 3\sqrt2\)
=> \(\left ( \frac{1}{3} \right )^{2\sqrt{5}}\) < \(\left ( \frac{1}{3} \right )^{3\sqrt{2}}\)
b) \(6\sqrt3 = \sqrt{6^{2}.3}\) = \(\sqrt {108}\) ; \(3\sqrt 6\) = \(\sqrt{3^{2}.6}\)= \(\sqrt{54}\) \(=> 6\sqrt3 > 3\sqrt6 => \) \(7^{\sqrt[6]{3}}\) > \(7^{\sqrt[3]{6}}\)
