Bài 13: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng
a) \(y = x^2 + 1, x = -1, x = 2\) và trục hoành
b) \(y = ln x, x = {1 \over e}, x = e\) và trục hoành
a) Diện tích hình phẳng cần tìm là:
\(S = \int\limits_{ – 1}^2 {({x^2} + 1)dx = ({{{x^3}} \over 3}} + x)\left| {_{ – 1}^2} \right. = 6\)
b) Diện tích hình phẳng cần tìm là:
\(\eqalign{& S = \int\limits_{{1 \over e}}^e {|\ln x|dx = \int\limits_{{1 \over e}}^1 {|\ln x|dx + } } \int\limits_1^e {|\ln x|dx} \cr & = – \int\limits_{{1 \over e}}^1 {\ln xdx + \int\limits_1^e {\ln xdx} } \cr} \)
Mặt khác:
\(\int {\ln xdx = x\ln x – \int {xd\ln x = x\ln x – \int {dx = x\ln x – x + C} } } \)
Do đó:
\(\eqalign{
& S = – \int\limits_{{1 \over e}}^1 {\ln xdx + \int\limits_1^e {\ln xdx} } = \int\limits_1^{{1 \over e}} {\ln xdx + \int\limits_1^e {xdx} } \cr
& = (x\ln x – x)\left| {_1^{{1 \over e}}} \right. + (x\ln x – x)\left| {_1^e} \right. = 2(1 – {1 \over e}) \cr} \)
Bài 14: Tìm vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 2x^2\) và \(y = x^3\) xung quanh trục Ox
Hoành độ giao điểm hai đường thẳng là nghiệm của phương trình sau:
Advertisements (Quảng cáo)
\(x^3 = 2x^2\)
\(\Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\)
Trong khoảng \((0, 2)\) ta có \(0 < x^3< 2x^2\) nên thể tích cần tìm là:
\(V = \pi \int\limits_0^2 {(4{x^4} – {x^6})dx = \pi ({{4{x^5}} \over 5}} – {{{x^7}} \over 7})\left| {_0^2} \right. = {{256\pi } \over {35}}\).
Bài 15: Giải các phương trình sau trên tập số phức
a) \((3 + 2i)z – (4 + 7i) = 2 – 5i\)
b) \((7 – 3i)z + (2 + 3i) = (5 – 4i)z\)
c) \(z^2 – 2z + 13 = 0\)
d) \(z^4 -z^2– 6 = 0\)
Advertisements (Quảng cáo)
a) \((3 + 2i)z – (4 + 7i) = 2 – 5i\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow (3 + 2i)z = 6 + 2i \cr
& \Leftrightarrow z = {{6 + 2i} \over {3 + 2i}} = {{22} \over {13}} – {6 \over {13}}i \cr} \)
b) \((7 – 3i)z + (2 + 3i) = (5 – 4i)z\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow (7 – 3i – 5 + 4i)z = – 2 – 3i \cr
& \Leftrightarrow z = {{ – 2 – 3i} \over {2 + i}} = {{ – 7} \over 5} – {4 \over 5}i \cr} \)
c) \(z^2– 2z + 13 = 0\)
\(⇔ (z – 1)^2 = -12 ⇔ z = 1 ± 2 \sqrt3 i\)
d) \(z^4 – z^2– 6 = 0\)
\(⇔ (z^2 – 3)(z^2 + 2) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
z = \pm \sqrt 3 \hfill \cr
z = \pm \sqrt 2 i \hfill \cr} \right.\)
Bài 16: Trên mặt phẳng tọa độ, hãy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) thỏa mãn bất đẳng thức:
a) \(| z| < 2\)
b) \(|z – i| ≤ 1\)
c) \(|z – 1 – i| < 1\)
Đặt \(z = a + bi ( a, b ∈ \mathbb R)\). Ta có:
a) \(\left| z \right| < 2 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} < 2 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} < 4\)
Tập hợp các điểm \(M(a; b)\) biểu diễn các số phức \(z\) nằm trong hình tròn tâm \(O\) (gốc tọa độ), bán kính \(2\) (không kể biên)
b)
\(\eqalign{
& \left| {z{\rm{ }}-i} \right|{\rm{ }} \le {\rm{ }}1 \Leftrightarrow |a + (b – 1)i| \le 1 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {{(b – 1)}^2}} \le 1 \cr
& \Leftrightarrow {a^2} + {(b – 1)^2} \le 1 \cr} \)
Tập hợp các điểm \(M (a; b)\) biểu diễn các số phức \(z\) nằm trong hình tròn tâm \(I(0, 1)\), bán kính \(1\) (kể cả biên)
c)
\(|z – 1 – i| < 1 ⇔ |(a – 1) + (b – 1)i| < 1 ⇔ (a – 1)^2+ (b – 1)^2 < 1\)
Tập hợp các điểm \(M(a; b)\) biểu diễn số phức \(z\) nằm trong hình tròn (không kể biên) tâm \(I (1, 1)\), bán kính \(1\).
