Bài 1: a) Phát biểu định nghĩa nguyên hàm của hàm số f(x) trên một khoảng
b) Nêu phương pháp tính nguyên hàm từng phần. Cho ví dụ minh họa.
a) Kí hiệu \(K\) là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa đoạn của tập số thực \(K\)
Hàm số \(F(x)\) gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng \(K\) nếu \(∀x ∈ K\) ta có \(F’(x) = f(x)\)
b) Phương pháp tính nguyên hàm toàn phần sựa trên cơ sở định lí:
Nếu hai hàm số \(u = u(x)\) và \(v = v(x)\) có đạo hàm liên tục trên K thì :
\(\int {u(x).v'(x)dx = u(x)v(x) – \int {u'(x)v(x)dx} } \) (3)
Để tính nguyên hàm toàn phần ta cần phân tích \(f(x)\) thành \(g(x).h(x)\),
– Chọn một nhân tử đặt bằng \(u\) còn nhân tử kia đặt là \(v’\)
– Tìm \(u’\) và \(v\),
– Áp dụng công thức trên, ta đưa tích phân ban đầu về một tích phân mới đơn giản hơn.
Ta cần chú ý các cách đặt thường xuyên như sau:
|
|
\(\int {P(x){e^x}dx} \) |
\(\int {P(x)\sin xdx} \) |
\(\int P(x)cosx dx \) |
\(\int P(x)lnx dx \) |
|
\(u\) |
\(P(x)\) |
\(P(x)\) |
\(P(x)\) |
\(ln(x)\) |
|
\(dv\) |
\(e^xdx\) |
\(sinxdx\) |
\(cosx dx\) |
\(P(x) dx\) |
Ví dụ:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = (3x^3- 2x) lnx\)
Giải
Đặt \(u = lnx\)
\(\eqalign{
& \Rightarrow u’ = {1 \over x} \cr
& v’ = 3{x^3} – 2x \Rightarrow v = {3 \over 4}{x^4} – {x^2} \cr} \)
Suy ra:
\(\eqalign{
& \int {f(x)dx = ({3 \over 4}} {x^4} – {x^2})\ln x – \int ({{3 \over 4}} {x^3} – x)dx \cr
& = ({3 \over 4}{x^4} – {x^2})\ln x – {3 \over {14}}{x^4} + {1 \over 2}{x^2} + C \cr} \)
Advertisements (Quảng cáo)
Bài 2 : a) Phát biểu định nghĩa tích phân của hàm số \(f(x)\) trên một đoạn
b) Nêu các tính chất của tích phân. Cho ví dụ minh họa.
a) Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \([a, b]\).
Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \([a, b]\).
Hiệu số \(F(a) – F(b)\) được gọi là tích phân từ \(a\) đến \(b\) (hay tích phân xác định trên đoạn \([a, b]\) của hàm số \(f(x)\).
Kí hiệu \(\int_a^b {f(x)dx} \): hoặc
Dấu \({\rm{[F(x)]}}{\left| {^b} \right._a} = F(b) – F(a) (1)\). (Công thức Newton – Leibniz)
Dấu được gọi là dấu tích phân, \(a\) là cận dưới và \(b\) là cận trên của tích phân
Hàm số \(f(x)\) gọi là hàm số dưới dấu tích phân,\( f(x) dx\) là biểu thức dưới dấu tích phân, \(dx\) chỉ biến số lấy tích phân là \(x\).
b)
Tính chất 1: \(\int_a^b {k.f(x)dx = k\int_a^b {f(x)dx} } \) ( \(k\) là hằng số)
Advertisements (Quảng cáo)
Tính chất 2: \(\int_a^b {{\rm{[f(x)}} \pm {\rm{g(x)]dx}} = \int_a^b {f(x)dx \pm } } \int_a^b {g(x)dx} \)
Tính chất 3: \(\int_a^b {f(x)dx = \int_a^c {f(x)dx + \int_c^b {f(x)dx} } } \) (\(a < c < b\))
Ví dụ:
a) Biết \(\int_5^9 {f(x)dx = 2.} \) Hãy tính \(\int_5^9 {( – 5).f(x)dx} \)
b) Biết \(\int_5^9 {f(x)dx = 2.} \) và \(\int_5^9 {g(x)dx = 4} \) . Hãy tính \(\int_5^0 {{\rm{[f(x) + g(x)]dx}}} \)
c) Biết \(\int_5^9 {f(x)dx = 2.} \) và \(\int_9^{10} {f(x)dx = 3} \) . Hãy tính \(\int_5^{10} {f(x)dx} \)
Giải
a) Ta có: \(\int_5^9 {( – 5).f(x)dx = ( – 5)\int_5^9 {f(x)dx = ( – 5).2 = – 10} } \)
b) Ta có: \(\int_5^9 {{\rm{[f(x) + g(x)]dx}} = \int_5^9 {f(x)dx + \int_5^9 {g(x)dx = 2 + 4 = 6} } } \)
c) Ta có: \(\int_5^{10} {f(x)dx = \int_5^9 {f(x)dx + \int_9^{10} {f(x)dx = 2 + 3 = 5} } } \)
Bài 3 : Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) \(f(x) = (x – 1)(1 – 2x)(1 – 3x)\)
b) \(f(x) = sin4x cos^2 2x\)
c) \(f(x) = {1 \over {1 – {x^2}}}\)
d) \(f(x) = (e^x- 1)^3\)
a) Ta có:
\(f\left( x \right)= ( – 2{x^2} + 3x-1)\left( {1 – 3x} \right)\)
\( =6{x^3}-11{x^2} +6x-1\)
Vậy nguyên hàm của \(f(x)\) là \(F\left( x \right) = {3 \over 2}{x^4} – {{11} \over 3}{x^3} + 3{x^2} – x + C\)
b) Ta có:
\(f\left( x \right) = \sin 4x.co{s^2}2x = \sin 4x.{{1 + \cos 4x} \over 2}\)
\(= {1 \over 2}(\sin 4x + \sin 4x.cos4x)\)
\(= {1 \over 2}(\sin 4x + {1 \over 2}\sin 8x) \)
Vậy nguyên hàm của \(f(x)\) là \(F(x) = – {1 \over 8}\cos 4x – {1 \over {32}}\cos 8x + C\)
c) Ta có:
\(f(x) = {1 \over {1 – {x^2}}} = {1 \over 2}({1 \over {1 – x}} + {1 \over {1 + x}})\)
Vậy nguyên hàm của f(x) là \(F(x) = {1 \over 2}\ln |{{1 + x} \over {1 – x}}| + C\)
d) Ta có:
\(f(x) ={e^{3x}}-3{e^{2x}} + 3{e^x}-1\)
Vậy nguyên hàm của \(f(x)\) là \(F(x) = {1 \over 3}{e^{3x}} – {3 \over 2}{e^{2x}} + 3{e^x} – x + C\)
