Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) \(y={x^2},y =x + 2\);
b) \(y = |lnx|, y = 1\);
c) \(y = {\left( x-6 \right)}^2,y = 6x-{x^2}\)
a) Phương trình hoành độ giao điểm \(f(x) = x^2-x -2 =0 ⇔ x = -1\) hoặc \(x = 2\).
Diện tích hình phẳng cần tìm là :
\(S=\int_{-1}^{2}\left |x^{2}- x- 2 \right |dx = \left | \int_{-1}^{2}\left (x^{2}- x- 2 \right ) dx \right |\)
\(=\left |\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-2x|_{-1}^{2} \right |=\left |\frac{8}{3}-2-4-(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2) \right |\)\(=4\tfrac{1}{2}\)
b) Phương trình hoành độ giao điểm:
\(f(x) = 1 – ln|x| = 0 ⇔ lnx = ± 1\)
\(⇔ x = e\) hoặc \(x = \frac{1}{e}\) 
\(y = ln|x| = lnx\) nếu \(lnx ≥ 0\) tức là \(x ≥ 1\).
hoặc \(y = ln|x| = – lnx\) nếu \(lnx < 0\), tức là \(0 < x < 1\).
Dựa vào đồ thị hàm số vẽ ở hình trên ta có diện tích cần tìm là :
\(S=\int_{\frac{1}{e}}^{e}|1- ln|x||dx =\int_{\frac{1}{e}}^{1}(1+lnx)dx \)
\(+\int_{1}^{e}(1-lnx)dx\)
Advertisements (Quảng cáo)
\(= x|_{\frac{1}{e}}^{1}+\int_{\frac{1}{e}}^{1}lnxdx +x|_{1}^{e}-\int_{1}^{e}lnxdx\)
\(=-\frac{1}{e}+e+\int_{\frac{1}{e}}^{1}lndx-\int_{1}^{e}lnxdx\)
Ta có \(∫lnxdx = xlnx – ∫dx = xlnx – x + C\), thay vào trên ta được :
\(S=e-\frac{1}{e}+(xlnx-x)|_{\frac{1}{e}}^{1}- (xlnx-x)|_{1}^{e}\)\(=e+\frac{1}{e}-2\)
c) Phương trình hoành độ giao điểm là:
\(f\left( x \right) =6x-{x^2}-{\left( {x -6} \right)^2} = – 2({x^2}-9x+ 18)\)\(=0\)
\(⇔ – 2({x^2}-9x+ 18) ⇔ x = 3\) hoặc \(x = 6\).
Diện tích cần tìm là:
\(S=\int_{3}^{6}|-2(x^{2}-9x+18)|dx\)
\(=|2\int_{3}^{6}(x^{2}-9x+18)dx|\)
\(=\left |2(\frac{x^{3}}{3}-\frac{9}{2}x^{2}+18x)|_{3}^{6} \right |=9\).
Advertisements (Quảng cáo)
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y = {x^2} + 1\), tiếp tuyến với đường thẳng này
tại điểm \(M(2;5)\) và trục \(Oy\).
Phương trình tiếp tuyến là \(y = 4x – 3\).
Phương trình hoành độ giao điểm
\({x^2} + 1 =4x – 3 \Leftrightarrow {x^2} – 4x + 4= 0 ⇔ x = 2\).
Do đó diện tích phải tìm là:
\(S=\int_{0}^{2}|x^{2}+1 -4x+3|dx=\int_{0}^{2}(x^{2}-4x+4)dx\)
\(=\frac{8}{3}=2\tfrac{2}{3}\).
Bài 3: Parabol \(y = {{{x^2}} \over 2}\) chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính \(2\sqrt2\) thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của chúng.
Đường tròn đã cho có phương trình \({x^{2}} + {\rm{ }}{y^2} = {\rm{ }}8\)
Từ đó ta có: \(y = \pm \sqrt {8 + {x^2}} \)
Tọa độ giao điểm của \((C)\) và \((P)\) thỏa mãn hệ:
\(\left\{ \matrix{
{x^2} = 2y \hfill \cr
{x^2} + {y^2} = 8 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{y^2} + 2y – 8 = 0 \hfill \cr
{x^2} = 2y \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = 2 \hfill \cr
x = \pm 2 \hfill \cr} \right.\)
\(S_1 = 2\int_0^2 {\left( {\sqrt {8 – {x^2}} – {{{x^2}} \over 2}} \right)} d{\rm{x}}\)
\(= 2\int\limits_0^2 {\sqrt {8 – {x^2}} dx – \left[ {{{{x^3}} \over 3}} \right]} \left| {_0^2 = 2\int\limits_0^2 {\sqrt {8 – {x^2}} } dx – {8 \over 3}} \right.\)
Đặt \(x = 2\sqrt 2 \sin t \Rightarrow dx = 2\sqrt 2 {\mathop{\rm costdt}\nolimits} \)
Đổi cận: \(\eqalign{
& x = 0 \Rightarrow t = 0 \cr
& x = 2 \Rightarrow t = {\pi \over 4} \cr} \)
\({S_1} = 2\int\limits_0^{{\pi \over 4}} {\sqrt {8 – 8{{\sin }^2}t} .2\sqrt 2 {\rm{costdt – }}{8 \over 3}} \)
\( = 16\int\limits_0^{{\pi \over 4}} {{{\cos }^2}tdt – {8 \over 3}} \)\( = 8\int\limits_0^{{\pi \over 4}} {(1 + cos2t)dt – {8 \over 3}} \)
\(= [8t + 4sint2t]|_0^{{\pi \over 4}} – {8 \over 3} = 2\pi + {4 \over 3}\)
Diện tích hình tròn là: \(\pi R^2=8\pi\)
và \({S_2} = 8\pi – {S_1}=6\pi+{4\over 3}.\)
Vậy \({{{S_2}} \over {{S_1}}} = {{9\pi – 2} \over {3\pi + 2}}\).
