Bài 2.1: Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong của tam giác ACD . Gọi I và J tương ứng là hai điểm trên cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với CD
a) Hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (IJM) và (ACD).
b) Lấy N là điểm thuộc miền trong của tam giác ABD sao cho JN cắt đoạn AB tại L. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNJ) và (ABC)
(h.2.20)
a) Nhận xét:
Do giả thiết cho IJ không song song với CDvà chúng cùng nằm trong mặt phẳng (BCD) nên khi kéo dài chúng gặp nhau tại một điểm.
Gọi \(K = IJ \cap CD\).
Ta có : M là điểm chung thứ nhất của (ACD) và (IJM);
\(\left\{ \matrix{
K \in IJ \hfill \cr
IJ \subset \left( {MIJ} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow K \in \left( {MIJ} \right)\) và \(\left\{ \matrix{K \in CD \hfill \cr C{\rm{D}} \subset \left( {AC{\rm{D}}} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow K \in \left( {AC{\rm{D}}} \right)\)
Vậy \(\left( {MIJ} \right) \cap \left( {ACD} \right) = MK\)
b) Với \(L = JN \cap AB\) ta có:
\(\left\{ \matrix{
L \in JN \hfill \cr
JN \subset \left( {MNJ} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow L \in \left( {MNJ} \right)\)
\(\left\{ \matrix{
L \in AB \hfill \cr
AB \subset \left( {ABC} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow L \in \left( {ABC} \right)\)
Như vậy L là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (MNJ) và (ABC)
Gọi \(P = JL \cap A{\rm{D}},Q = PM \cap AC\)
Ta có:
Advertisements (Quảng cáo)
\(\left\{ \matrix{
Q \in PM \hfill \cr
PM \subset \left( {MNP} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow Q \in \left( {MNJ} \right)\)
Và \(\left\{ \matrix{Q \in AC \hfill \cr AC \subset \left( {ABC} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow Q \in \left( {ABC} \right)\)
Nên Q là điểm chung thứ hai của (MNJ) và (ABC)
Vậy \(LQ = \left( {ABC} \right) \cap \left( {MNJ} \right)\).
Bài 2.2: Cho hình chóp S.ABCDcó đáy là tứ giác ABCD có hai cạnh đối diện không song song. Lấy điểm M thuộc miền trong của tam giác SCD.
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
a) (SBM) và (SCD);
b) (ABM) và (SCD);
c) (ABM) và (SAC).
Advertisements (Quảng cáo)
(h.2.21)
a) Ta có ngay S, M là hai điểm chung của (SBM) và (SCD) nên \(\left( {SBM} \right) \cap \left( {SC{\rm{D}}} \right) = SM\).
b) M là điểm chung thứ nhất của (AMB) và (SCD)
Gọi \(I = AB \cap C{\rm{D}}\)
Ta có: \(I \in AB \Rightarrow I \in \left( {ABM} \right)\)
Mặt khác \(I \in C{\rm{D}} \Rightarrow I \in \left( {SC{\rm{D}}} \right)\)
Nên \(\left( {AMB} \right) \cap \left( {SC{\rm{D}}} \right) = IM\).
c) Gọi \(J = IM \cap SC\).
Tacó: \(J \in SC \Rightarrow J \in \left( {SAC} \right)\) và \(J \in IM \Rightarrow J \in \left( {ABM} \right)\).
Hiển nhiên \(A \in \left( {SAC} \right)\) và \(A \in \left( {ABM} \right)\)
Vậy \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {ABM} \right) = AJ\)
Bài 2.3: Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm I và lấy các điểm J, K lần lượt là điểm thuộc miền trong các tam giác BCD và ACD. Gọi L là giao điểm của JK với mặt phẳng (ABC)
a) Hãy xác định điểm L.
b) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (IJK) với các mặt của tứ diện ABCD.
(h.2.22)
a) Gọi \(N = DK \cap AC;M = DJ \cap BC\).
Ta có \(\left( {DJK} \right) \cap \left( {ABC} \right) = MN \Rightarrow MN \subset \left( {ABC} \right)\).
Vì \(L = \left( {ABC} \right) \cap JK\) nên dễ thấy \(L = JK \cap MN\).
b) Ta có I là một điểm chung của (ABC) và (IJK).
Mặt khác vì \(L = MN \cap JK\) mà \(MN \subset \left( {ABC} \right)\) và \(JK \subset \left( {IJK} \right)\) nên L là điểm chung thứ hai của (ABC) và (IJK), suy ra \(\left( {IJK} \right) \cap \left( {ABC} \right) = IL\).
Gọi \(E = IL \cap AC;F = EK \cap C{\rm{D}}\). Lí luận tương tự ta có \(EF = \left( {IJK} \right) \cap \left( {ACD} \right)\).
Nối FJ cắt BD tại P; P là một giao điểm (IJK) và (BCD).
Ta có \(PF = \left( {IJK} \right) \cap \left( {BCD} \right)\)
Và \(IP = \left( {AB{\rm{D}}} \right) \cap \left( {IJK} \right)\)
