Bài 1: Tìm số gia của hàm số \(f(x) = x^3\), biết rằng :
a) \(x_0 = 1; ∆x = 1\)
b) \(x_0= 1; ∆x = -0,1\)
a) \(∆y = f(x_0+∆x) – f(x_0) = f(2) – f(1) = 2^3-1^3= 7\).
b) \(∆y = f(x_0+∆x) – f(x_0) = f(0,9) – f(1)\) = \( \left ( \frac{9}{10} \right )^{3} – 1^3=\) \( \frac{729}{1000} – 1 = -0,271\).
Bài 2: Tính \(∆y\) và \({{\Delta y} \over {\Delta x}}\) của các hàm số sau theo \(x\) và \(∆x\) :
a) \(y = 2x – 5\); b) \(y = x^2- 1\);
c) \(y = 2x^3\); d) \(y = {1 \over x}\).
a) \(∆y = f(x+∆x) – f(x) = 2(x+∆x) – 5 – (2x – 5) = 2∆x\) và \({{\Delta y} \over {\Delta x}} = {{2\Delta x} \over {\Delta x}} = 2\).
b) \(\Delta y = f(\Delta x + x) – f(x) = {(x + \Delta x)^2} – 1 – ({x^2} – 1)\)
\(= 2x.\Delta x + {(\Delta x)^2} = \Delta x(2x + \Delta x)\) và \({{\Delta y} \over {\Delta x}} = {{\Delta x\left( {2{\rm{x}} + \Delta x} \right)} \over {\Delta x}} = 2{\rm{x + }}\Delta {\rm{x}}\)
c) \(∆y = f(x+∆x) – f(x) = 2(x + ∆x)^3- 2x^3\)= \(6{x^2}\Delta x + 6x{(\Delta x)^2} + 2{(\Delta x)^3} = 2\Delta x.(3{x^2} + 3x\Delta x + {(\Delta x)^2})\) và \({{\Delta y} \over {\Delta x}} = {{2\Delta x\left[ {3{{\rm{x}}^2} – 3{\rm{x}}\Delta x + \Delta {x^2}} \right]} \over {\Delta x}}\) \(= 6x^2+ 6x∆x + 2(∆x)^2\).
Advertisements (Quảng cáo)
d) \(∆y = f(x+∆x) – f(x) =\)\(-{1 \over x} + {1 \over {x +\Delta x}} = {{x – \Delta x – x} \over {x\left( {x + \Delta x} \right)}} = – {{\Delta x} \over {x\left( {x + \Delta x} \right)}}\)
\({{\Delta y} \over {\Delta x}} = {1 \over {\left( {x + \Delta x} \right)x}}\)
Bài 3: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:
a) \(y = x^2+ x\) tại \(x_0= 1\);
b) \(y = \frac{1}{x}\) tại \(x_0= 2\);
c) \(y = \frac{x+1}{x-1}\) tại \(x_0 = 0\).
a) Giả sử \(∆x\) là số gia của số đối tại \(x_0 = 1\). Ta có:
Advertisements (Quảng cáo)
\(∆y = f(1 + ∆x) – f(1) = (1 + ∆x)^2+ (1 + ∆x) – (1^2+ 1)\)
\(= 3∆x + (∆x)^2\)
\( \frac{\Delta y}{\Delta x} = 3 + ∆x\); \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} (3 + \Delta x) = 3\)
Vậy \(f'(1) = 3\).
b) Giả sử \(∆x\) là số gia của số đối tại \(x_0= 2\). Ta có:
\(∆y = f(2 + ∆x) – f(2) = \frac{1}{2+\Delta x} – \frac{1}{2} = – \frac{\Delta x}{2\left ( 2+\Delta x \right )}\);
\( \frac{\Delta y}{\Delta x}\) = – \( \frac{1}{2\left ( 2+\Delta x \right )}\); \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( { – {1 \over {2.(2 + \Delta x)}}} \right) = – {1 \over 4}\)
Vậy \(f'(2) = – \frac{1}{4}\).
c) Giả sử \(∆x\) là số gia của số đối tại \(x_0= 0\).Ta có:
\(∆y = f(∆x) – f(0) = \frac{\Delta x+1}{\Delta x-1}- ( -1) = \frac{2\Delta x}{\Delta x-1}\);
\( \frac{\Delta y}{\Delta x}\) = \( \frac{2}{\Delta x-1}\) ; \( \mathop {\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\) \( \frac{\Delta y}{\Delta x}\) = \( \mathop {\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\) \( \frac{2}{\Delta x-1} = -2\).
Vậy \(f'(0) = -2\).
Bài 4: Chứng minh rằng hàm số
\(f(x) = \left\{ \matrix{
{(x – 1)^2}\text{ nếu }x \ge 0 \hfill \cr
– {x^2}\text { nếu } x < 0 \hfill \cr} \right.\)
không có đạo hàm tại điểm \(x = 0\) nhưng có đạo hàm tại điểm \(x = 2\).
Ta có \( \mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow 0^{+}} f(x) = \)\( \mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow 0^{+}} (x – 1)^2= 1\) và \( \mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow 0^{-}} f(x) = \)\(\mathop{ \lim}\limits_{x\rightarrow 0^{-}} (-x^2) = 0\).
vì \(\mathop{ \lim}\limits_{x\rightarrow 0^{+}}f(x) ≠ \)\( \mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow 0^{-}}\) nên hàm số \(y = f(x)\) gián đoạn tại \(x = 0\), do đó hàm số không có đạo hàm tại điểm \(x = 0\).
Ta có \(\mathop{ \lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\) \( \frac{f\left ( 2+\Delta x \right )-f\left ( 2 \right )}{\Delta x}\) = \( \mathop{\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\) \( \frac{\left ( 1+\Delta x \right )^{2}-1^{2}}{\Delta x}\) = \( \mathop{\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0} (2 + ∆x) = 2\).
Vậy hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm tại \(x = 2\) và \(f'(2) = 2\).
