Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong \(y = x^3\):
a) Tại điểm có tọa độ \((-1;-1)\);
b) Tại điểm có hoành độ bằng \(2\);
c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng \(3\).
Bằng định nghĩa ta tính được \(y’ = 3x^2\).
a) \(y’ (-1) = 3\). Do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng \(3\). Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm \((-1;-1)\) là \(y – (-1) = 3[x – (-1)]\) hay \(y = 3x+2\).
b) \(y’ (2) = 12\). Do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng \(12\). Ngoài ra ta có \(y(2) = 8\). Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng \(2\) là: \( y – 8 = 12(x – 2)\)
hay \(y = 12x -16\).
c) Gọi \(x_0\) là hoành độ tiếp điểm. Ta có:
\(y’ (x_0) = 3 \Leftrightarrow 3{x_0}^2= 3\Leftrightarrow {x_0}^2= 1\Leftrightarrow x_0= ±1\).
+) Với \(x_0= 1\) ta có \(y(1) = 1\), phương trình tiếp tuyến là
\( y – 1 = 3(x – 1)\) hay \(y = 3x – 2\).
Advertisements (Quảng cáo)
+) Với \(x_0= -1\) ta có \(y(-1) = -1\), phương trình tiếp tuyến là
\(y – (-1) = 3[x – (-1)]\) hay \(y = 3x + 2\).
Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol \(y = \frac{1}{x}\):
a) Tại điểm \(( \frac{1}{2} ; 2)\)
b) Tại điểm có hoành độ bằng \(-1\);
c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng -\( \frac{1}{4}\).
Bằng định nghĩa ta tính được \(y’ = – \frac{1}{x^{2}}\).
Advertisements (Quảng cáo)
a) \(y’ \left ( \frac{1}{2} \right )= -4\). Do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng \(-4\). Vậy phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm \(( \frac{1}{2} ; 2)\) là \(y – 2 = -4(x – \frac{1}{2})\) hay \(y = -4x + 4\).
b) \(y’ (-1) = -1\). Do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng \(-1\). Ngoài ra, ta có \(y(-1) = -1\). Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có tọa độ là \(-1\) là \(y – (-1) = -[x – (-1)]\) hay \(y = -x – 2\).
c) Gọi \(x_0\) là hoành độ tiếp điểm. Ta có
\(y’ (x_0) = – \frac{1}{4} \Leftrightarrow – \frac{1}{x_{0}^{2}} = – \frac{1}{4}\)\(\Leftrightarrow x_{0}^{2} = 4 \Leftrightarrow x_{0}= ±2\).
Với \(x_{0}= 2\) ta có \(y(2) = \frac{1}{2}\), phương trình tiếp tuyến là
\(y – \frac{1}{2} = – \frac{1}{4}(x – 2)\) hay \(y = \frac{1}{4}x + 1\).
Với \(x_{0} = -2\) ta có \(y (-2) = – \frac{1}{2}\), phương trình tiếp tuyến là
\(y – \left ( -\frac{1}{2} \right ) = – \frac{1}{4}[x – (-2)]\) hay \(y = – \frac{1}{4}x -1\)
Bài 7: Một vật rơi tự do theo phương trình \(s = {1 \over 2}g{t^2}\) , trong đó \(g ≈ 9,8\) m/s2 là gia tốc trọng trường.
a) Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t (t = 5s) đến \(t + ∆t\), trong các trường hợp \(∆t = 0,1s; ∆t = 0,05s; ∆t = 0,001s\).
b) Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \(t = 5s\).
a) Vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ \(t\) đến \(t + ∆t\) là
\(V_{tb}= \frac{s\left ( t+\Delta t \right )-s\left ( t \right )}{\Delta t}= \frac{\frac{1}{2}g\cdot \left ( t+\Delta t \right )^{2}-\frac{1}{2}g\cdot t^{2}}{\Delta t} ={1 \over 2}g(2t + \Delta t) \approx 4,9.(2t + \Delta t)\)
Với \( t=5\) và
+) \(∆t = 0,1\) thì \(v_{tb}≈ 4,9. (10 + 0,1) ≈ 49,49 m/s\);
+) \(∆t = 0,05\) thì \(v_{tb}≈ 4,9. (10 + 0,05) ≈ 49,245 m/s\);
+) \(∆t = 0,001\) thì \(v_{tb} ≈ 4,9. (10 + 0,001) ≈ 49,005 m/s\).
b) Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \(t = 5s\) tương ứng với \(∆t = 0\) nên \(v ≈ 4,9 . 10 = 49 m/s\).
