Bài 1: Cho điểm \(A\) không nằm trong mặt phẳng \((α)\) chứa tam giác \(BCD\). Lấy \(E,F\) là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh \(AB, AC\)
a) Chứng minh đường thẳng \(EF\) nằm trong mặt phẳng \((ABC)\)
b) Khi \(EF\) và \(BC\) cắt nhau tại \(I\), chứng minh \(I\) là điểm chung của hai mặt phẳng \((BCD)\) và \((DEF)\)
a) \(E, F ∈ (ABC) \Rightarrow EF ⊂ (ABC)\)
b) \(I ∈ EF \Rightarrow I ∈ ( DEF)\)
\(I\in BC\Rightarrow I\in(BCD)\)
Do đó \(I\) là điểm chung của hai mặt phẳng \((BCD)\) và \((DEF)\).
Bài 2: Gọi \(M\) là giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((α )\). Chứng minh \(M\) là điểm chung của \((α )\) với một mặt phẳng bất kì chứa \(d\)
Hiển nhiên \(M ∈ (α )\) , Gọi \((β)\) là mặt phẳng bất kì chứa \(d\), ta có
\(\left\{ \matrix{
M \in d \hfill \cr
d \subset (\beta ) \hfill \cr} \right. \Rightarrow M \in (\beta )\)
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy \(M\) là điểm chung của \((α )\) và mọi mặt phẳng \((β)\) chứa \(d\).
Bài 3: Cho ba đường thẳng \({d_{1,}}{d_2},{d_3}\) không cùng nằm trong một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi một. Chứng minh ba đường thẳng trên đồng quy.
Gọi \({d_{1,}}{d_2},{d_3}\) là ba đường thẳng đã cho. Gọi \(I =d_1\cap d_2\) Ta chứng minh \(I ∈ d_3\)
\(I ∈ d_1\Rightarrow I ∈ (β) = (d_1,d_3)\)
\(I ∈ d_2\Rightarrow I ∈ (\gamma) = (d_2,d_3)\)
Từ đó suy ra, \(I ∈(\beta ) \cap (\gamma )=d_3\).
Bài 4: Cho bốn điểm \(A, B, C\) và \(D\) không đồng phẳng. Gọi \({G_{A}}^{}\), \({G_{B}}^{}\), \({G_{C},{G_{D}}^{}}^{}\) lần lượt là trọng tâm của tam giác \(BCD, CDA, ABD, ABC\). Chứng minh rằng, \(A{G_{A},B{G_{B},C{G_{C},D{G_{D}}^{}}^{}}^{}}^{}\) đồng quy
Advertisements (Quảng cáo)
Gọi \(I\) là trung điểm của \(CD\). Ta có \( G_{A}\in BI, {G_{B}}\subset AI\). Trong \((ABI)\) gọi \( G = A{G_{A}}\)\( \cap B{G_{B}}^{}\).
Dễ thấy \( \frac{I{G_{A}}^{}}{IB}\) = \( \frac{I{G_{B}}^{}}{IA} = \frac{1}{3}\) nên \({G_{A}}^{}\) \({G_{B}}^{} // AB\) và \( \frac{GA}{G{G_{A}}^{}}\) = \( \frac{AB}{{G_{A}{G_{B}}^{}}^{}}\) = 3
Lí luận tương tự, ta có \(C{G_{C}}^{},D{G_{D}}^{}\) cũng cắt \(A{G_{A}}^{}\) tại \(G’\), \(G”\) và \( \frac{G’A}{G'{G_{A}}^{}}\) = 3, \( \frac{G”A}{G”{G_{A}}^{}}= 3\)
Như vậy \(G ≡ G’ ≡ G”\).
Bài 5: Cho tứ giác \(ABCD\) nằm trong mặt phẳng \((α)\) có hai cạnh \(AB\) và \(CD\) không song song. Gọi \(S\) là điểm nằm ngoài mặt phẳng \((α)\) và \(M\) là trung điểm đoạn \(SC\).
a) Tìm giao điểm \(N\) của đường thẳng \(SD\) và mặt phẳng \((MAB)\)
b) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Chứng minh rằng ba đường thẳng \(SO, AM, BN\) đồng quy
a) Trong mặt phẳng \((α)\) vì \(AB\) và \(CD\) không song song nên \(AB ∩ DC = E\)
=> \(E ∈ DC\), mà \(DC ⊂ (SDC)\)
=> \(E ∈ ( SDC)\). Trong \((SDC)\) đường thẳng \(ME\) cắt \(SD\) tại \(N\)
=> \(N ∈ ME\) mà \(ME ⊂ (MAB)\)
=> \(N ∈ ( MAB)\). Lại có \(N ∈ SD => N = SD ∩ (MAB)\)
b) \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\)\( => O\) thộc \(AC\) và \(BD\), mà \(AC ⊂ ( SAC)\)
=> \(O ∈( SAC), BD ⊂ (SBD) , O ∈ (SBD)\)
=> \(O\) là một điểm chung của \((SAC)\) và \((SBD)\), mặt khác \(S\) cũng là điểm chung của \((SAC)\) và \((SBD) => (SAC) ∩ (SBD) = SO\)
Trong mặt phẳng \((AEN)\) gọi \(I = AM ∩ BN\) thì \(I\) thuộc \(AM\) và \(I\) thuộc \(BN\)
Mà \(AM ⊂ (SAC) => I ∈ (SAC), BN ⊂ ( SBD) => I ∈ (SBD)\). Như vậy \(I\) là điểm chung của \((SAC)\) và \((SBD)\) nên \(I\) thuộc giao tuyến \(SO\) của \((SAC)\) và \((SBD)\) tức là \(S, I, O\) thẳng hàng hay \(SO, AM, BN\) đồng quy.
