Câu 1. (6 điểm): Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c.
a) Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = {{{b^2} + {c^2} – {a^2}} \over 2}\)
b) Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = A{I^2} – {{B{C^2}} \over 4}\) với I là trung điểm của BC;
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, với M là điểm bất kì trong mặt phẳng, chứng minh hệ thức sau:
\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + 3M{G^2}\)
a) Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} \)
\(\eqalign{
& = > B{C^2} = {\overrightarrow {BC} ^2} = {(\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} )^2} \cr
& = A{C^2} + A{B^2} – 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \cr} \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} = {{A{C^2} + A{B^2} – B{C^2}} \over 2}\)
\(= > \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} = {{{b^2} + {c^2} – {a^2}} \over 2}\)
b) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IB} \) và \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow {AI} – \overrightarrow {IB} \)
Advertisements (Quảng cáo)
\( = > \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} = A{I^2} – I{B^2} = A{I^2} – {{B{C^2}} \over 4}\) (I là trung điểm của BC)
c) Ta có:
\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + 3M{G^2}\)
\( \Leftrightarrow (M{A^2} – G{A^2}) + (M{B^2} – G{B^2}) + (M{C^2} – G{C^2}) = 3M{G^2}\)
\( \Leftrightarrow (\overrightarrow {MA} – \overrightarrow {GA)} (\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GA} ) + (\overrightarrow {MB} – \overrightarrow {GB} )(\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {GB} ) + (\overrightarrow {MC} – \overrightarrow {GC} )(\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {GC} ) = 3M{G^2}\)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} (\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {GC} ) = 3M{G^2}\)
Advertisements (Quảng cáo)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {MG} {\rm{[}}(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} ) + (\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} ){\rm{]}} = 3M{G^2}\)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} (3\overrightarrow {MG} + \overrightarrow 0 ) = 3M{G^2}\)
\(\Leftrightarrow 3{\overrightarrow {MG} ^2} = 3M{G^2}\) (đúng)
Vậy đẳng thức được chứng minh.
Câu 2. ( 4 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1;-1) và B(3;0) là hai đỉnh của hình vuông ABCD. Tìm tọa độ của các đỉnh còn lại.
*Gọi \(C({x_C};{y_C})\), ta có: \(\overrightarrow {BC} = ({x_C} – 3;{y_C});\overrightarrow {AB} = (2;1)\)
Vì ABCD là hình vuông
=> \(\left\{ \matrix{
AB \bot BC \hfill \cr
AB = BC \hfill \cr} \right. = > \left\{ \matrix{
2{x_C} – 6 + {y_C} = 0 \hfill \cr
{({x_C} – 3)^2} + y_C^2 = 5 \hfill \cr} \right.\)
\(\eqalign{
& = > \left\{ \matrix{
{y_C} = 6 – 2{x_C} \hfill \cr
{({x_C} – 3)^2} + 36 – 24{x_C} + 4x_C^2 = 5 \hfill \cr} \right. \cr
& = > \left\{ \matrix{
{y_C} = 2 \hfill \cr
{x_C} = 2 \hfill \cr} \right. \vee \left\{ \matrix{
{y_C} = – 2 \hfill \cr
{x_C} = 4 \hfill \cr} \right. \cr} \)
*Gọi \(D({x_D};{y_D})\)
Với C(2;2)
=> \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_D} – 2 = – 2 \hfill \cr
{y_D} – 2 = – 1 \hfill \cr} \right. = > \left\{ \matrix{
{x_D} = 0 \hfill \cr
{y_D} = 1 \hfill \cr} \right.\)
Với C(4;-2)
=> \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_D} – 4 = – 2 \hfill \cr
{y_D} + 2 = – 1 \hfill \cr} \right. = > \left\{ \matrix{
{x_D} = 2 \hfill \cr
{y_D} = – 3 \hfill \cr} \right.\)
Vậy C(2; 2), D(0; 1) hay C(4; -2), D(2;-3).
