Bài đề toán tổng hợp chương II SBT Toán lớp 10. Giải bài 2.59, 2.60, 2.61 trang 105 Sách bài tập Toán Hình học 10. Câu 2.59: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b …
Bài 2.59: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b (với \(b \ne c\)) phân giác trong AD = k (D nằm trên cạnh BC), BD = d, CD = e. Chứng minh hệ thức: \({k^2} = bc – de\)
Ta có AD là phân giác trong góc A của tam giác ABC nên \(\widehat {BAD} = \widehat {DAC}\)
\( \Rightarrow \cos \widehat {BAD} = cos\widehat {DAC}\)
\(\eqalign{
& \Rightarrow {{A{B^2} + A{D^2} – B{D^2}} \over {2AB.AD}} = {{A{C^2} + A{D^2} – C{D^2}} \over {2AC.AD}} \cr
& \Rightarrow {{{c^2} + {k^2} – {d^2}} \over {2c.k}} = {{{b^2} + {k^2} – {e^2}} \over {2b.k}} \cr
& \Rightarrow b\left( {{c^2} + {k^2} – {d^2}} \right) = c\left( {{b^2} + {k^2} – {e^2}} \right)(*) \cr} \)
Vì AD là phân giác trong góc A của tam ABC nên \({{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\)
\( \Rightarrow bd = ce$\), từ (*) ta suy ra \(\left( {b – c} \right)\left( { – {k^2} + bc – be} \right) = 0\)
\( \Rightarrow {k^2} = bc – de\) (vì \(b \ne c\)) (điều phải chứng minh)
Advertisements (Quảng cáo)
Bài 2.60: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b và AB = c thỏa mãn hệ thức \({c \over {b + a}} + {b \over {a + c}} = 1\). Hãy tính số đo của góc A.
Ta có: \({c \over {b + a}} + {b \over {a + c}} = 1\)
\(\eqalign{
& \Rightarrow c\left( {a + c} \right) + b\left( {b + a} \right) = \left( {b + a} \right)\left( {a + c} \right) \cr
& \Rightarrow ca + {c^2} + {b^2} + ba = ba + {a^2} + bc + ac \cr
& \Rightarrow {b^2} + {c^2} – {a^2} = bc. \cr} \)
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có: \(\cos A = {{{b^2} + {c^2} – {a^2}} \over {2bc}} = {{bc} \over {2bc}} = {1 \over 2}\)
\( \Rightarrow \widehat A = {60^ \circ }\)
Bài 2.61: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(1;2), B( – 3;1) và trực tâm H(-2;3). Hãy tìm tọa độ đỉnh C.
A(1;2), B(-3;1) và trực tâm H(-2;3).
Gọi C(x;y). Ta có:
\(\overrightarrow {AH} = ( – 3;1);\overrightarrow {BC} = \left( {x + 3;y – 1} \right)\)
\(\overrightarrow {BH} = (1;2);\overrightarrow {AC} = \left( {x – 1;y – 2} \right)\)
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \hfill \cr
\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
– 3.(x + 3) + 1.(y – 1) = 0 \hfill \cr
1.(x – 1) + 2.(y – 2) = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
– 3x + y = 10 \hfill \cr
x + 2y = 5 \hfill \cr} \right. \cr} \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {{ – 15} \over 7} \hfill \cr
y = {{25} \over 7} \hfill \cr} \right.\)
