Bài 13, 14, 15 trang 190 Sách BT Toán Đại số 10: Cho tanα + cosα = m, tính tan^2α + cot^2α

Bài 13: Cho \(\tan \alpha  + \cos \alpha  = m\), hãy tính theo m

a) \({\tan ^2}\alpha  + {\cot ^2}\alpha \)

b) \({\tan ^3}\alpha  + {\cot ^3}\alpha \)

a) \(\eqalign{
& {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha \cr
& = {(\tan \alpha + \cot \alpha )^2} – 2\tan \alpha \cot \alpha = {m^2} – 2 \cr} \)

b) \(\eqalign{
& {\tan ^3}\alpha + {\cot ^3}\alpha \cr
& = (\tan \alpha + \cot \alpha )({\tan ^2}\alpha – \tan \alpha \cot \alpha + {\cot ^2}\alpha ) \cr
& = m({m^2} – 3) \cr} \)

Bài 14: Không dùng bảng số và máy tính, rút gọn các biểu thức

a) \(A = \tan {18^0}\tan {288^0} + \sin {32^0}\sin {148^0} – \sin {302^0}\sin {122^0}\)

b) \(B = {{1 + {{\sin }^4}\alpha  – c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\alpha } \over {1 – {{\sin }^6}\alpha  – c{\rm{o}}{{\rm{s}}^6}\alpha }}\)

a) \(A = \tan ({90^0} – {72^0})\tan ({360^0} – {72^0}) + \sin {32^0}\sin ({180^0} – {32^0}) – \sin ({360^0} – {58^0})\sin ({180^0} – {58^0})\)

\(\eqalign{
& \cot {72^0}( – \tan {72^0}) + {\sin ^2}{32^0} + {\sin ^2}{58^0} \cr
& = – 1 + {\sin ^2}{32^0} + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}{32^0} \cr
& = – 1 + 1 = 0 \cr} \)

b) \(\eqalign{
& B = {{1 + ({{\sin }^2}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha )(si{n^2}\alpha – c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha )} \over {1 – ({{\sin }^2}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha )({{\sin }^4}\alpha – {{\sin }^2}\alpha c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\alpha )}} \cr
& = {{1 + {{\sin }^2}\alpha – c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha } \over {1 – {\rm{[}}{{({{\sin }^2}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha )}^2} – 3{{\sin }^2}\alpha c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha }} \cr
& = {{3{{\sin }^2}\alpha } \over {3{{\sin }^2}\alpha c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha }} = {2 \over 3}(1 + {\tan ^2}\alpha ) \cr} \)

Bài 15: Chứng minh rằng với mọi \(\alpha \) làm cho biểu thức \({{\sin \alpha  + \tan \alpha } \over {{\rm{cos}}\alpha {\rm{ + cot}}\alpha }}\) có nghĩa, biểu thức đó không thể là một số âm.

Ta có: \(\eqalign{
& {{\sin \alpha + \tan \alpha } \over {{\rm{cos}}\alpha {\rm{ + cot}}\alpha }} = {{\sin \alpha (1 + {1 \over {{\rm{cos}}\alpha }})} \over {{\rm{cos}}\alpha {\rm{(1 + }}{1 \over {\sin \alpha }})}} \cr
& = {{{{\sin }^2}\alpha (1 + c{\rm{os}}\alpha {\rm{)}}} \over {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha (1 + \sin \alpha )}} \cr} \)

Vì \(1 + c{\rm{os}}\alpha  \ge {\rm{0}}\) và \(1 + \sin \alpha  \ge {\rm{0}}\) cho nên biểu thức đã cho không thể có giá trị là một số âm.