Bài 10, 11, 12 trang 189 SBT Toán Đại số 10: Tính sin α + cos α ?

Bài 10: Biết \(\sin \alpha  = {3 \over 4}\) và \({\pi  \over 2} < \alpha  < \pi \). Tính

a) \(A = {{2\tan \alpha  – 3\cot \alpha } \over {\cos \alpha  + tan\alpha }}\)

b) \(B = {{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  + {{\cot }^2}\alpha } \over {\tan \alpha  – \cot \alpha }}\)

a) \({\pi  \over 2} < \alpha  < \pi  =  > \cos \alpha  < 0\)

Ta có: \(\cos \alpha  =  – \sqrt {1 – {{\sin }^2}\alpha }  =  – \sqrt {1 – {9 \over {16}}}  =  – {{\sqrt 7 } \over 4}\)

\(\tan \alpha  = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }} =  – {3 \over {\sqrt 7 }},\cot \alpha  =  – {{\sqrt 7 } \over 3}\)

Vậy \(A = {{ – {6 \over {\sqrt 7 }} + \sqrt 7 } \over { – {{\sqrt 7 } \over 4} – {3 \over {\sqrt 7 }}}} =  – {4 \over {19}}\)

b) \(B = {{{7 \over {16}} + {7 \over 9}} \over { – {3 \over {\sqrt 7 }} + {{\sqrt 7 } \over {\sqrt 7 }}}} = {{{{7 \times 25} \over {144}}} \over { – {2 \over {3\sqrt 7 }}}} =  – {{175\sqrt 7 } \over {96}}\)

Bài 11: Cho \(\tan \alpha  – 3\cot \alpha  = 6\) và \(\pi  < \alpha  < {{3\pi } \over 2}\). Tính

a) \(\sin \alpha  + \cos \alpha \)

b) \({{2\sin \alpha  – \tan \alpha } \over {{\rm{cos}}\alpha {\rm{ + cot}}\alpha }}\)

Vì \(\pi  < \alpha  < {{3\pi } \over 2}\)

Nên \(\cos \alpha  < 0,\sin \alpha  < 0\) và \(\tan \alpha  > 0\)

Ta có: \(\tan \alpha  – 3\cot \alpha  = 6 \Leftrightarrow \tan \alpha  – {3 \over {\tan \alpha }} – 6 = 0\)

\( \Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha  – 6\tan \alpha  – 3 = 0\)

Vì \(\tan \alpha  > 0\) nên \(\tan \alpha  = 3 + 2\sqrt 3\)

a) \({\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  = {1 \over {1 + {{\tan }^2}\alpha }} = {1 \over {22 + 12\sqrt 3 }}\)

Suy ra \({\rm{cos}}\alpha {\rm{ =  – }}{1 \over {\sqrt {22 + 12\sqrt 3 } }},\sin \alpha  =  – {{3 + 2\sqrt 3 } \over {\sqrt {22 + 12\sqrt 3 } }}.\)

Vậy \(\sin \alpha  + c{\rm{os}}\alpha {\rm{ =  – }}{{4 + 2\sqrt 3 } \over {\sqrt {22 + 12\sqrt 3 } }}\)

\(\eqalign{
& {{2\sin \alpha – \tan \alpha } \over {{\rm{cos}}\alpha {\rm{ + cot}}\alpha }} = {{\sin \alpha (2 – {1 \over {{\rm{cos}}\alpha }})} \over {{\rm{cos(1 + }}{1 \over {\sin \alpha }})}} \cr
& = \tan \alpha .{{2\cos \alpha – 1} \over {{\rm{cos}}\alpha }}.{{\sin \alpha } \over {\sin \alpha + 1}} = {\tan ^2}\alpha .{{2\cos \alpha – 1} \over {\sin \alpha + 1}} \cr} \)

\(\eqalign{
& {(3 + 2\sqrt 3 )^2}.{{ – {2 \over {\sqrt {22 + 12\sqrt 3 } }}} \over { – {{3 + 2\sqrt 3 } \over {\sqrt {22 + 12\sqrt 3 } }} + 1}} \cr
& = (21 + 12\sqrt 3 ).{{2 + \sqrt {22 + 12\sqrt 3 } } \over {3 + 2\sqrt 3 – \sqrt {22 + 12\sqrt 3 } }} \cr} \)

Bài 12: Chứng minh các đẳng thức

a) \({{\tan \alpha  – \tan \beta } \over {{\rm{cot}}\beta {\rm{ – cot}}\alpha }} = \tan \alpha \tan \beta\)

b) \(\tan {100^0} + {{\sin {{530}^0}} \over {1 + \sin {{640}^0}}} = {1 \over {\sin {{10}^0}}}\)

c) \(2({\sin ^6}\alpha  + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^6}\alpha ) + 1 = 3({\sin ^4}\alpha  + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\alpha )\)

a) \(\eqalign{
& {{\tan \alpha – \tan \beta } \over {{\rm{cot}}\beta {\rm{ – cot}}\alpha }} = {{\tan \alpha – \tan \beta } \over {{1 \over {\tan \beta }} – {1 \over {\tan \alpha }}}} \cr
& = {{\tan \alpha – \tan \beta } \over {{{\tan \alpha – \tan \beta } \over {tan\alpha \tan \beta }}}} = \tan \alpha \tan \beta \cr} \)

b) \(\eqalign{
& \tan {100^0} + {{\sin {{530}^0}} \over {1 + \sin {{640}^0}}} \cr
& = \tan ({90^0} + {10^0}) + {{\sin ({{360}^0} + {{170}^0})} \over {1 + \sin ({{720}^0} – {{80}^0})}} \cr} \)

\(\eqalign{
& = – \cot {10^0} + {{\sin {{170}^0}} \over {1 – \sin {{80}^0}}} \cr
& = – {{\cos {{10}^0}} \over {\sin {{10}^0}}} + {{\sin {{10}^0}} \over {1 – c{\rm{os1}}{{\rm{0}}^0}}} \cr} \)

\( = {{ – \cos {{10}^0} + {{\cos }^2}{{10}^0} + {{\sin }^2}{{10}^0}} \over {\sin {{10}^0}(1 – c{\rm{os1}}{{\rm{0}}^0})}} = {1 \over {\sin {{10}^0}}}\)

\(\eqalign{
& c)2({\sin ^6}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^6}\alpha ) + 1 \cr
& = 2({\sin ^2}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x)({\sin ^4}x – {\sin ^2}x{\cos ^2}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x) + 1 \cr
& = 2({\sin ^4}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x) + {({\sin ^2}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x)^2} – 2{\sin ^{^2}}x{\cos ^2}x \cr
& = 2({\sin ^4}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x) + ({\sin ^4}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x) \cr
& = 3({\sin ^4}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\alpha ) \cr} \)