Bài 38: Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 2p (mét). Nếu mở rộng miếng đất đó bằng cách tăng một cạnh thêm 3m và cạnh kia thêm 2m thì diện tích miếng đất tăng thêm 246 \(m^2\). Tính các kích thước của miếng đất đó (biện luận theo p).
Gọi hai kích thước hình chữ nhật là x và y (x > 0; y > 0)
Ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \matrix{
x + y = p \hfill \cr
(x + 3)(y + 2) = xy + 246 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x + y = p \hfill \cr
2x + 3y = 240 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 3p – 240 \hfill \cr
y = 240 – 2p \hfill \cr} \right.\)
x > 0; y > 0
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
3p – 240 > 0 \hfill \cr
240 – 2p > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow 80 < p < 120\)
Bài 39: Giải và biện luận các hệ phương trình
a)
\(\left\{ \matrix{
x + my = 1 \hfill \cr
mx – 3my = 2m + 3 \hfill \cr} \right.\)
b)
\(\left\{ \matrix{
mx + y = 4 – m \hfill \cr
2x + (m – 1)y = m \hfill \cr} \right.\)
a) Ta có:
\(\eqalign{& D = \,\left|\matrix{
1 & m \cr m & { – 3m} \cr}\right |\, = – 3m – {m^2} = – m(m + 3) \cr & {D_x} = \left|\matrix{1 & m \cr {2m + 3} & { – 3m} \cr} \right |\, = – 3m – m(2m + 3) \cr&\;\;\;\;\;\;= – 2m(m + 3) \cr & {D_y} = \left|\matrix{1 & 1 \cr m & {2m + 3} \cr}\right |\, = \,2m + 3 – m = m + 3 \cr} \)
+Nếu D ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 và m ≠ -3 nên hệ có nghiệm duy nhất là:
\(\left\{ \matrix{
x = {{{D_x}} \over D} = {{ – 2m(m + 3)} \over { – m(m + 3)}} = 2 \hfill \cr
y = {{{D_y}} \over D} = {{m + 3} \over { – m(m + 3)}} = – {1 \over m} \hfill \cr} \right.\)
+ Nếu D = 0
Advertisements (Quảng cáo)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m = 0 \hfill \cr
m = – 3 \hfill \cr} \right.\)
i) Với m = 0, Dy = 3 ≠ 0: hệ vô nghiệm
ii) Với m = -3, hệ trở thành:
\(\left\{ \matrix{
x – 3y = 1 \hfill \cr
– 3x + 9y = – 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow y = {{x – 1} \over 3}\)
Hệ có vô số nghiệm \((x;\,{{x – 1} \over 3})\) ; x ∈ R
b) Ta có:
\(\eqalign{
& D = \,\left|\matrix{
m & 1 \cr
2 & {m – 1} \cr}\right |\, = m(m – 1) – 2 \cr&\;\;\;\;= {m^2} – m – 2 = (m + 1)(m – 2) \cr & {D_x} = \,\left|\matrix{{4 – m} & 1 \cr m & {m – 1} \cr}\right |\, = (4 – m)(m – 1) – m \cr&\;\;\;\;= – {m^2} + 4m – 4 = – {(m – 2)^2} \cr & {D_y} = \,\left|\matrix{m & {4 – m} \cr 2 & m \cr}\right |\, = \,{m^2} – 2(4 – m) \cr&\;\;\;\;= {m^2} + 2m – 8 = (m – 2)(m + 4) \cr} \)
+ Nếu D ≠ 0 ⇔ m ≠ -1 và m ≠ 2 nên hệ có nghiệm duy nhất là:
\(\left\{ \matrix{
x = {{{D_x}} \over D} = {{ – {{(m – 2)}^2}} \over {(m + 1)(m – 2)}} = {{ – m + 2} \over {m + 1}} \hfill \cr
y = {{{D_y}} \over D} = {{(m + 4)(m – 2)} \over {(m + 1)(m – 2)}} = {{m + 4} \over {m + 1}} \hfill \cr} \right.\)
+ Nếu D = 0 ⇔ m = -1 hoặc m = 2
i) m = -1; Dx ≠ 0. Hệ vô nghiệm
ii) m = 2, thế y = 2 – 2x. Hệ có vô số nghiệm (x; 2 – 2x); x ∈ R
Advertisements (Quảng cáo)
Bài 40: Với giá trị nào của a thì mỗi hệ phương trình sau có nghiệm?
a)
\(\left\{ \matrix{
(a + 1)x – y = a + 1 \hfill \cr
x + (a – 1)y = 2 \hfill \cr} \right.\)
b)
\(\left\{ \matrix{
(a + 2)x + 3y = 3a + 9 \hfill \cr
x + (a + 4)y = 2 \hfill \cr} \right.\)
Ta có:
\(\eqalign{
& D = \,\left|\matrix{
{a + 1} & { – 1} \cr
1 & {a – 1} \cr} \right|\, = {a^2} – 1 + 1 = {a^2} \cr & {D_x} = \,\left|\matrix{{a + 1} & { – 1} \cr 2 & {a – 1} \cr} \right|\, = {a^2} – 1 + 2 = {a^2} + 1 \ne 0 \cr} \)
+ Nếu a ≠ 0 thì hệ có nghiệm duy nhất
+ Nếu a = 0 thì hệ vô nghiệm (do Dx ≠ 0)
Vậy hệ có nghiệm ⇔ a ≠ 0
b) Ta có:
\(\eqalign{
& D = \,\left|\matrix{
{a + 2} & 3 \cr
1 & {a + 4} \cr} \right|\, = (a + 2)(a + 4) – 3 \cr&= {a^2} + 6a + 5 = (a + 1)(a + 5) \cr & {D_x} = \,\left|\matrix{{3a + 9} & 3 \cr 2 & {a + 4} \cr} \right|\, = (3a + 9)(a + 4) – 6 \cr&= 3{a^2} + 21a + 30 = 3(a + 2)(a + 5) \cr & {D_y} = \,\left|\matrix{{a + 2} & {3a + 9} \cr 1 & 2 \cr} \right|\, = 2(a + 2) – (3a + 9)\cr& = – a – 5 \cr} \)
+ Nếu a ≠ -1 và a ≠ -5 thì hệ có nghiệm duy nhất
+ Nếu a = -1 thì Dy = -4 ≠ 0: hệ vô nghiệm
+ Nếu a =-5 thì hệ thành:
\(\left\{ \matrix{
– 3x + 3y = – 6 \hfill \cr
x – y = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow y = x – 2\)
Hệ có vô số nghiệm (x, x – 2) ∈ R
Vậy hệ có nghiệm khi a ≠ 1
Bài 41: Tìm tất cả các cặp số nguyên (a, b) sao cho hệ phương trình sau vô nghiệm:
\(\left\{ \matrix{
ax + y = 2 \hfill \cr
6x + by = 4 \hfill \cr} \right.\)
Ta có:
\(D = \,\left|\matrix{
a & 1 \cr
6 & b \cr} \right|\, = ab – 6\)
Hệ vô nghiệm thì D = 0 ⇒ ab = 6
Vì a, b ∈ Z nên (a, b) là một trong 8 cặp số nguyên là:
(1, 6); (-1, -6); (6, 1); (-6, -1); (2, 3); (-2, -3); (3, 2); (-3, -2)
Lần lượt thay (a, b) bởi một trong 8 cặp số trên, ta thấy cặp (a, b) = (3, 2) không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy có 7 cặp số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
