Bài 26: Giải và biện luận phương trình sau (m và a là những tham số)
a) \((2x + m – 4)(2mx – x + m) = 0\);
b) \(|mx + 2x – 1| = | x|\);
c) \((mx + 1)\sqrt {x – 1} = 0\)
d) \({{2a – 1} \over {x – 2}} = a – 2\)
e) \({{(m + 1)x + m – 2} \over {x + 3}} = m\)
f) \(|{{ax + 1} \over {x – 1}}|\, = a\)
a) Ta có:
(2x + m – 4)(2mx – x + m) = 0
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x + m – 4 = 0 \hfill \cr
2mx – x + m = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {{4 – m} \over 2} \hfill \cr
(2m – 1)x = – m \hfill \cr} \right.\)
+ Với \(m = {1 \over 2}\) phương trình có nghiệm: \(x = {{4 – m} \over 2} = {7 \over 4}\)
+ Với \(m \ne {1 \over 2}\) phương trình có hai nghiệm: \(x = {{4 – m} \over 2};\,\,x = {m \over {1 – 2m}}\)
b) Ta có:
\(|mx + 2x – 1| = | x|\)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
mx + 2x – 1 = x \hfill \cr
mx + 2x – 1 = – x \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
(m + 1)x = 1 \hfill \cr
(m + 3)x = 1 \hfill \cr} \right.\)
+ Với m = -1 phương trình có nghiệm \(x = {1 \over 2}\)
+ Với m = -3, phương trình có nghiệm \(x = – {1 \over 2}\)
+ Với m ≠ -1 và m ≠ -3 thì phương trình có hai nghiệm: \(x = {1 \over {m + 1}};\,\,x = {1 \over {m + 3}}\)
c) Điều kiện: x ≥ 1
Ta có:
\((mx + 1)\sqrt {x – 1} = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
mx + 1 = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)
+ Với m = 0, phương trình có nghiệm x = 1
+ Với m ≠ 0 (1) ⇔ \(x = – {1 \over m}\)
Kiểm tra điều kiện:
\(\eqalign{
& – {1 \over m} \ge 1 \Leftrightarrow – {1 \over m} – 1 \ge 0 \Leftrightarrow {{ – m – 1} \over m} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {{m + 1} \over m} \le 0 \Leftrightarrow – 1 \le m < 0 \cr} \)
Do đó:
+ Với -1 < m < 0 ; \(S = {\rm{\{ }}1;\, – {1 \over m}{\rm{\} }}\)
+ Với
\(\left[ \matrix{
m \le -1 \hfill \cr
m \ge 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,;\,\,\,S = {\rm{\{ }}1\} \)
d) Điều kiện: x ≠ 2
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có:
\(\eqalign{
& {{2a – 1} \over {x – 2}} = a – 2 \Leftrightarrow 2a – 1 = (a – 2)(x – 2) \cr
& \Leftrightarrow (a – 2)x = 4a – 5\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \cr} \)
+ Với a = 2 thì S = Ø
+ Với a ≠ 2 thì \((1) \Leftrightarrow x = {{4a – 5} \over {a – 2}}\)
Kiểm tra điều kiện:
\(x \ne 2 \Leftrightarrow {{4a – 5} \over {a – 2}} \ne 2 \Leftrightarrow 4a – 5 \ne 2a – 4 \Leftrightarrow a \ne {1 \over 2}\)
Vậy a = 2 hoặc \(a = {1 \over 2}\,;\,\,\,\,S = \emptyset \)
a ≠ 2 và \(a \ne {1 \over 2};\,\,\,\,\,S = {\rm{\{ }}{{4a – 5} \over {a – 2}}{\rm{\} }}\)
e) Điều kiện: x ≠ -3
Phương trình đã cho tương đương với:
(m + 1)x+ m – 2= m(x + 3) ⇔ x = 2m + 2
x = 2m + 2 là nghiệm của phương trình \( \Leftrightarrow 2m + 2 \ne – 3 \Leftrightarrow m \ne – {5 \over 2}\)
i) Với \(m \ne – {5 \over 2}\) thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 2m + 2
ii) Với \(m = – {5 \over 2}\) thì phương trình vô nghiệm
f) Rõ ràng a < 0 thì phương trình vô nghiệm
Với a ≥ 0. Điều kiện: x ≠ 1
Ta có:
\(|{{ax + 1} \over {x – 1}}| = a \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{{ax + 1} \over {x – 1}} = a \hfill \cr
{{ax + 1} \over {x – 1}} = – a \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
ax + 1 = ax – a \hfill \cr
ax + 1 = – ax + a \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
a = – 1\,\,\,(l) \hfill \cr
2ax = a – 1 \hfill \cr} \right.\)
Vậy a = 0 ; S = Ø
Advertisements (Quảng cáo)
\(a > 0;\,x = {{a – 1} \over {2a}}\,\, ;\,\,S = {\rm{\{ }}{{a – 1} \over {2a}}{\rm{\} }}\)
Bài 27: Bằng cách đặt ẩn phụ, giải các phương trình sau:
a) \(4{x^2} – 12x – 5\sqrt {4{x^2} – 12x + 11} + 15 = 0\)
b) \({x^2}+ 4x – 3|x + 2| + 4 = 0\)
c) \(4{x^2} + {1 \over {{x^2}}} + |2x – {1 \over x}| – 6 = 0\)
a) \(4{x^2} – 12x – 5\sqrt {4{x^2} – 12x + 11} + 15 = 0\)
Đặt \(t = \sqrt {4{x^2} – 12x + 11} \,\,(t \ge 0)\)
⇒ 4x2 – 12x = t2 – 11
Ta có phương trình:
\({t^2} – 11 – 5t + 15 = 0 \Leftrightarrow {t^2} – 5t + 4 = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = 4 \hfill \cr} \right.\)
+ Với t = 1, ta có:
\(\sqrt {4{x^2} – 12x + 11} = 1 \Leftrightarrow 4{x^2} – 12x + 10 = 0\) (vô nghiệm)
+ Với t = 4, ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {4{x^2} – 12x + 11} = 4 \Leftrightarrow 4{x^2} – 12x – 5 = 0 \cr
& \Leftrightarrow x = {{6 \pm \sqrt {56} } \over 4} = {{3 \pm \sqrt {14} } \over 2} \cr} \)
b) Đặt \(t = | x + 2| (t ≥ 0) \)⇒ x2 + 4x = t2 – 4
Ta có phương trình:
\(\eqalign{
& {t^2} – 4 – 3t + 4 = 0 \Leftrightarrow {t^2} – 3t = 0 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 0 \hfill \cr
t = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
|x + 2| = 0 \hfill \cr
|x + 2| = 3 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = – 2 \hfill \cr
x + 2 = 3 \hfill \cr
x + 2 = – 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = – 2 \hfill \cr
x = 1 \hfill \cr
x = – 5 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy S = {-5, -2, 1}
c) Đặt \(t = |2x – {1 \over x}|\,\,\,(t \ge 0)\)
\( \Rightarrow {t^2} = 4{x^2} + {1 \over {{x^2}}} – 4 \Rightarrow 4{x^2} + {1 \over {{x^2}}} = {t^2} + 4\)
Ta có phương trình:
\({t^2} + t – 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = – 2\,\,(l) \hfill \cr} \right.\)
\(t = 1 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x – {1 \over x} = 1 \hfill \cr
2x – {1 \over x} = – 1 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
2{x^2} – x – 1 = 0 \hfill \cr
2{x^2} + x – 1 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1;\,x = – {1 \over 2} \hfill \cr
x = – 1;\,x = {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(S = {\rm{\{ }} – 1, – {1 \over 2};{1 \over 2};1\} \)
Bài 28: Tìm các giá trị của tham số m sao cho phương trình sau có nghiệm duy nhất : |mx – 2| = |x + 4| (*)
Ta có:
|mx – 2| = |x + 4| ⇔ (mx -2)2 = (x + 4)2
⇔ (m2 – 1)x2 – 4(m + 2)x – 12 = 0 (1)
+ Với m = 1 thì (1) trở thành : -12x – 12 = 0 ⇔ x = -1
+ Với m = -1 thì (1) trở thành: -4x – 12 = 0 ⇔ x = -3
+ Với m ≠ ± 1 thì (1) có nghiệm duy nhất:
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow\Delta ‘ = 4{(m + 2)^2} + 12({m^2} – 1) = 0\cr& \Leftrightarrow 4{m^2} + 4m + 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {(2m + 1)^2} = 0 \Leftrightarrow m = – {1 \over 2} \cr} \)
Với \(m \in {\rm{\{ }} – 1; – {1 \over 2};1\}\) thì phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài 29: Với giá trị của a thì phương trình sau vô nghiệm?
\({{x + 1} \over {x – a + 1}} = {x \over {x + a + 2}}\)
Điều kiện: x ≠ a – 1 và x ≠ -a – 2
Ta có:
(1) ⇔ (x + 1)(x + a + 2) = x(x – a + 1)
⇔ x2 + (a + 3)x + a + 2 = x2 – (a – 1)x
⇔ 2(a + 1)x = -a – 2 (2)
+ Với a = -1 thì S = Ø
+ Với a ≠ -1 thì \((2) \Leftrightarrow x = {{ – a – 2} \over {2(a + 1)}}\)
Kiểm tra điều kiện:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
x \ne a – 1 \hfill \cr
x \ne – a – 2 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{{ – a – 2} \over {2(a + 1)}} \ne a – 1 \hfill \cr
{{ – a – 2} \over {2(a + 1)}} \ne – a – 2 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
– a – 2 \ne 2({a^2} – 1) \hfill \cr
– (a + 2) \ne 2(a + 2)(a + 1) \hfill \cr} \right.\cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2{a^2} + a \ne 0 \hfill \cr
(a + 2)(2a + 1) \ne 0 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a \ne 0 \hfill \cr
a \ne – {1 \over 2} \hfill \cr
a \ne – 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)
