Bài 1: Chứng minh các công thức sau
a) \(\overrightarrow a .\,\overrightarrow b = {1 \over 2}\left( {|\overrightarrow a {|^2} + |\overrightarrow b {|^2} – \overrightarrow {|a} – \overrightarrow b {|^2}} \right)\);
b) \(\overrightarrow a .\,\overrightarrow b = {1 \over 4}\left( {|\overrightarrow a + \overrightarrow b {|^2} – |\overrightarrow a – \overrightarrow b {|^2}} \right)\).
a) Ta có \(|\overrightarrow a – \overrightarrow b {|^2} = {(\overrightarrow a – \overrightarrow b )^2} = |\overrightarrow a {|^2} – 2\overrightarrow a \overrightarrow b + |\overrightarrow b {|^2}\)
\( \Rightarrow \,\,\,\overrightarrow a .\,\overrightarrow b = {1 \over 2}(|\overrightarrow a {|^2} + |\overrightarrow b {|^2} – |\overrightarrow a – \overrightarrow b {|^2})\)
b) Ta có \(|\overrightarrow a + \overrightarrow b {|^2} – |\overrightarrow a – \overrightarrow b {|^2} = {(\overrightarrow a + \overrightarrow b )^2} – {(\overrightarrow a – \overrightarrow b )^2}\)
\(\eqalign{
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = (\overrightarrow a + \overrightarrow b – \overrightarrow a + \overrightarrow b )(\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow a – \overrightarrow b ) = 4.\,\overrightarrow a .\,\overrightarrow b \cr
& \Rightarrow \,\,\overrightarrow a .\,\overrightarrow b = {1 \over 4}(|\overrightarrow a + \overrightarrow b {|^2} – |\overrightarrow a – \overrightarrow b {|^2}). \cr} \)
Bài 2: Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).
a) Chứng minh rằng với mọi điểm \(M\), ta luôn có
\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\).
b) Tìm tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {k^2}\), trong đó \(k\) là một số cho trước.
Ta có
\(\eqalign{
& M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2} \cr
&= {(\overrightarrow {GA} – \overrightarrow {GM} )^2} + {(\overrightarrow {GB} – \overrightarrow {GM} )^2} + {(\overrightarrow {GC} – \overrightarrow {GM} )^2} \cr
& = {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2} + 3{\overrightarrow {MG} ^2} – 2\overrightarrow {GM} (\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} ) \cr
&= 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} \cr} \)
Advertisements (Quảng cáo)
b) Áp dụng câu a), ta có
\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {k^2}\,\, \Leftrightarrow \,\,3M{G^2} = {k^2} – (G{A^2} + G{B^2} + G{C^2})\)
+) Nếu \({k^2} > G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\) thì tập hợp các điểm \(M\) là đường tròn tâm \(G\) bán kính \(\sqrt {{1 \over 3}\left[ {{k^2} – (G{A^2} + G{B^2} + G{C^2})} \right]} \).
+) Nếu \({k^2} = G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\) thì tập hợp các điểm \(M\) chỉ gồm một phần tử là \(G\).
+) Nếu \({k^2} < G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\) thì tập hợp điểm \(M\) là tập rỗng.
Bài 3: Cho hình bình hành \(ABCD\). Tìm tập hợp các điểm \(M\) sao cho
\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = {k^2}\), trong đó \(k\) là một số cho trước.
Gọi \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\), ta có
\(\eqalign{
& M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2} + {\overrightarrow {MD} ^2} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {(\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OM} )^2} + {(\overrightarrow {OB} – \overrightarrow {OM} )^2} + {(\overrightarrow {OC} – \overrightarrow {OM} )^2} + {(\overrightarrow {OD} – \overrightarrow {OM} )^2} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = O{A^2} + O{B^2} + O{C^2} + O{D^2} + 4O{M^2} – 2\overrightarrow {OM} (\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} ) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2(O{A^2} + O{B^2}) + 4O{M^2} \cr} \)
Advertisements (Quảng cáo)
Do đó \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = {k^2}\,\, \Leftrightarrow \,\,\,4O{M^2} = {k^2} – 2(O{A^2} + O{B^2})\).
+) Nếu \({k^2} > 2(O{A^2} + O{B^2})\) thì tập hợp các điểm \(M\) là đường tròn tâm \(O\) bán kính \(\sqrt {{1 \over 4}\left[ {{k^2} – 2(O{A^2} + O{B^2})} \right]} \).
+) Nếu \({k^2} = 2(O{A^2} + O{B^2})\) thì tập hợp các điểm \(M\) chỉ gồm một phần tử là \(O\).
+) Nếu \({k^2} < 2(O{A^2} + O{B^2})\) thì tập hợp điểm \(M\) là tập rỗng.
Bài 4: Trên hình 63 có vẽ hai tam giác vuông cân ABC và A’B’C’ có chung đỉnh A. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng BB’ và CC’. Chứng minh rằng
a) \(AI \bot C{C’}\,,\,AJ \bot B{B’}\,\);
b) \(B{C’}\,\, \bot {B’}C\,\,\).
Ta có \(\overrightarrow {AI} = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{B’}} )\,\,;\,\,\overrightarrow {AJ} = {1 \over 2}(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{C’}} )\)
\(\eqalign{
& \Rightarrow \,\,\overrightarrow {AI} .\,\overrightarrow {C{C’}} = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{B’}} ).\,(\overrightarrow {A{C’}} – \overrightarrow {AC} ) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{C’}} – \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{B’}} .\,\overrightarrow {A{C’}} – \overrightarrow {A{B’}} .\,\overrightarrow {AC} ) \cr} \)
Vì \(AB \bot AC\,,\,\,A{B’} \bot A{C’}\,\) nên \(\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {A{B’}} .\,\overrightarrow {A{C’}} = 0\)
Mặt khác
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{C’}} = AB.\,A{C’}.\cos \widehat {BA{C’}} \cr
& \overrightarrow {A{B’}} .\,\overrightarrow {AC} = A{B’}.\,AC.\cos \widehat {{B’}AC} \cr
& \Rightarrow \,\,\,\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{C’}} = \overrightarrow {A{B’}} .\,\overrightarrow {AC} \,\, \Rightarrow \,\,\overrightarrow {AI} .\,\overrightarrow {C{C’}} = 0\,\, \Rightarrow \,\,AI \bot C{C’} \cr} \)
Tương tự \(\overrightarrow {AJ} .\,\overrightarrow {B{B’}} = {1 \over 2}(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{C’}} ).\,(\overrightarrow {A{B’}} – \overrightarrow {AB} )\)
\(\eqalign{
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 2}(\overrightarrow {AC} .\,\overrightarrow {A{B’}} – \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{C’}} .\,\overrightarrow {A{B’}} – \overrightarrow {A{C’}} .\,\overrightarrow {AB} ) =0\cr
& \Rightarrow \,\,AJ \bot B{B’} \cr} \)
b) Ta có
\(\eqalign{
& \overrightarrow {B{C’}} .\,\overrightarrow {{B’}C} = (\overrightarrow {A{C’}} – \overrightarrow {AB} ).\,(\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {A{B’}} ) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {A{C’}} .\,\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {A{C’}} .\,\overrightarrow {A{B’}} – \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{B’}} \cr} \)
\(\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{B’}} = AB.A{B’}.\cos \widehat {BA{B’}}\)
\(\overrightarrow {AC} .\,\overrightarrow {A{C’}} = AC.A{C’}.\cos ({180^0} – \widehat {BA{B’}}) \)
\(= – \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{B’}}.\)
Do đó: \(\overrightarrow {B{C’}} .\,\overrightarrow {{B’}C} =\overrightarrow 0\)
Vậy \(B{C’} \bot {B’}C\).
