Bài 1: Bằng định nghĩa, tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = 7 + x – x^2\) tại \(x_0 = 1\);
b) \(y = x^3- 2x + 1\) tại \(x_0= 2\).
a) Giả sử \(∆x\) là số gia của đối số tại \(x_0= 1\). Ta có:
\(∆y = f(1 + ∆x) – f(1) = 7 + (1 + ∆x) – (1 + ∆x)^2\)
\(- (7 + 1 – 1^2) = -(∆x)^2- ∆x\) ;
\( \frac{\Delta y}{\Delta x} = – ∆x – 1\) ; \(\mathop {\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\)\( \frac{\Delta y}{\Delta x}\) = \( \mathop{\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0} (- ∆x – 1) = -1\).
Vậy \(f'(1) = -1\).
b) Giả sử \(∆x\) là số gia của số đối tại \(x_0= 2\). Ta có:
\(∆y = f(2 + ∆x) – f(2) = (2 + ∆x)^3-2(2 + ∆x) + 1 \)\(- (2^3- 2.2 + 1) = (∆x)^3+ 6(∆x)^2+ 10∆x\);
\( \frac{\Delta y}{\Delta x} = (∆x)^2+ 6∆x + 10\);
\(\mathop{ \lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\)\( \frac{\Delta y}{\Delta x}\) = \( \mathop{\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}[(∆x)^2+ 6∆x + 10] = 10\).
Vậy \(f'(2) = 10\).
Bài 2: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = x^5- 4 x^3+ 2x – 3\);
b) \(y = \frac{1}{4} – \frac{1}{3}x + x^2 – 0,5x^4\);
c) \(y = \frac{x^{4}}{2}\) – \( \frac{2x^{3}}{3}\) + \( \frac{4x^{2}}{5} – 1\) ;
Advertisements (Quảng cáo)
d) \(y = 3x^5(8 – 3x^2)\).
a) \(y’ = 5x^4- 12x^2+ 2\).
b) \(y’ = – \frac{1}{3} + 2x – 2x^3\)
c) \(y’ = 2x^3- 2x^2+ \frac{8x}{5}\).
d) \(y = 24x^5- 9x^7=> y’ = 120x^4- 63x^6\).
Bài 3: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = {({x^{7}} – 5{x^2})^3}\);
b)\(y = ({x^2} + 1)(5 – 3{x^2})\);
c) \(y = \frac{2x}{x^{2}-1}\);
d) \(y = \frac{3-5x}{x^{2}-x+1}\);
Advertisements (Quảng cáo)
e) \(y = \left ( m+\frac{n}{x^{2}} \right )^{3}\) (\(m, n\) là các hằng số).
a) \(y’ = 3.{({x^7} – 5{x^2})^2}.({x^7} – 5{x^2})’ = 3.{({x^{7}} – 5{x^2})^2}.(7{x^6} – 10x)\)
\(= 3x.{({x^{7}} – 5{x^2})^2}(7{x^5} – 10).\)
b) \(y = 5{x^2} – 3{x^4} + 5 – 3{x^2} = – 3{x^4} + 2{x^2} + 5\), do đó \(y’ = – 12{x^3} + 4x = – 4x.(3{x^2} – 1)\).
c) \(y’ = \frac{\left ( 2x \right )’.\left ( x^{2}-1 \right )-2x\left ( x^{2}-1 \right )’}{\left ( x^{2}-1 \right )^{2}}\) = \( \frac{2.\left ( x^{2}-1 \right )-2x.2x}{\left ( x^{2}-1 \right )^{2}}\) = \( \frac{-2\left ( x^{2}+1 \right )}{\left ( x^{2}-1 \right )^{2}}\).
d) \(y’ = \frac{\left ( 3-5x \right )’\left ( x^{2}-x+1 \right )-\left ( 3-5x \right ).\left ( x^{2}-x+1 \right )’}{\left ( x^{2}-x+1 \right )^{2}}\) = \( \frac{-5\left ( x^{2}-x+1 \right )-\left ( 3-5x \right ).\left ( 2x-1 \right )}{\left ( x^{2}-x+1 \right )^{2}}\) = \( \frac{5x^{2}-6x-2}{\left ( x^{2}-x+1 \right )^{2}}\).
e) \(y’ = 3. \left ( m+\frac{n}{x^{2}} \right )^{2}\) .\( \left ( m+\frac{n}{x^{2}} \right )’\) = 3.\( \left ( m+\frac{n}{x^{2}} \right )^{2}\) \( \left ( -\frac{2n}{x^{3}} \right )\) = -\( \frac{6n}{x^{3}}\) .\( \left ( m+\frac{n}{x^{2}} \right )^{2}\).
Bài 4: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = x^2 – x\sqrt x + 1\);
b) \(y = \sqrt {(2 – 5x – x^2)}\);
c) \(y = \frac{x^{3}}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\) ( \(a\) là hằng số);
d) \(y = \frac{1+x}{\sqrt{1-x}}\).
a) \(y’ = 2x – \left ( \sqrt{x}+x.\frac{1}{2\sqrt{x}} \right )\) \(= 2x – \frac{3}{2}\sqrt{x}\).
b) \(y’ =\frac{\left ( 2-5x-x^{2} \right )’}{2.\sqrt{2-5x-x^{2}}}\) = \( \frac{-5-2x}{2\sqrt{2-5x-x^{2}}}\).
c) \(y’ = \frac{\left ( x^{3} \right )’.\sqrt{a^{2}-x^{2}}-x^{3}.\left ( \sqrt{a^{2}-x^{2}} \right )}{a^{2}-x^{2}}\) = \( \frac{3x^{2}.\sqrt{a^{2}-x^{2}}-x^{3}.\frac{-2x}{2\sqrt{a^{2}-x^{2}}}}{a^{2}-x^{2}}\) = \( \frac{3x^{2}.\sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{x^{4}}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}}{a^{2}-x^{2}}\) = \( \frac{x^{2}\left ( 3a^{2}-2x^{2} \right )}{\left ( a^{2} -x^{2}\right )\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\).
d) \(y’ = \frac{\left ( 1+x \right )’.\sqrt{1-x}-\left ( 1+x \right ).\left ( \sqrt{1-x} \right )’}{1-x}\) = \( \frac{\sqrt{1-x}-\left ( 1+x \right )\frac{-1}{2\sqrt{1-x}}}{1-x}\) = \( \frac{2\left ( 1-x \right )+1+x}{2\left ( 1-x \right )\sqrt{1-x}}\) = \( \frac{3-x}{2\left ( 1-x \right )\sqrt{1-x}}\).
Bài 5: Cho \(y = x^3-3x^2+ 2\). Tìm \(x\) để :
a) \(y’ > 0\)
b) \(y’ < 3\)
\(y’ = 3x^2- 6x\).
a) \(y’ > 0 \Leftrightarrow 3x^2- 6x >0 \Leftrightarrow 3x(x – 2) > 0\)
\(\Leftrightarrow x>2\) hoặc \(x<0\).
b) \(y’ < 3 \Leftrightarrow 3x^2- 6x -3 < 0 \Leftrightarrow x^2- 2x -1 < 0\)
\(\Leftrightarrow 1-\sqrt 2 < x < 1+\sqrt 2\).
