Bài 6: Gọi \(Đ\) là phép đối xứng qua mặt phẳng \((P)\) và \(a\) là một đường thắng nào đó. Giả sử \(Đ\) biến đường thẳng \(a\) thành đường thẳng \(a’\). Trong trường hợp nào thì :
a) \(a\) trùng với \(a’\) ;
b) \(a\) song song với \(a’\);
c) \(a\) cắt \(a’\);
d) \(a\) và \(a’\) chéo nhau ?
Giải
a) \(a\) trùng với \(a’\) khi \(a\) nằm trên mp\((P)\) hoặc \(a\) vuông góc với mp\((P)\)
b) \(a\) song song với \(a’\) khi \(a\) song song với mp\((P)\).
c) \(a\) cắt \(a’\) khi \(a\) cắt \(mp(P)\) nhưng không vuông góc với \(mp(P)\).
d) \(a\) và \(a’\) không bao giờ chéo nhau.
Bài 7: Tìm các mặt phẳng đối xứng của các hình sau đây :
a) Hình chóp tứ giác đều ;
b) Hình chóp cụt tam giác đều ;
c) Hình hộp chữ nhật mà không có mặt nào là hình vuông.
Giải
a)
Các mặt phẳng đối xứng của hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) là các mặt phẳng:
– Mp\((SAC)\)
Advertisements (Quảng cáo)
– Mp\((SBD)\)
– Mặt phẳng trung trực của đoạn \(AB\).
– Mặt phẳng trung trực của đoạn \(AD\).
b)
Hình chóp cụt tam giác đều \(ABC.A’B’C’\) có ba mặt phẳng đối xứng, đó là ba mặt phẳng trung trực của ba cạnh \(AB, BC, CA\).
c)
Hình hộp chữ nhật \(ABCD.A’B’C’D’\) (mà không có mặt nào là hình vuông) có ba mặt phẳng đối xứng, đó là ba mặt phẳng trung trực của ba cạnh \(AB, AD, AA’\).
Bài 8: Cho hình lập phương \(ABCD.A’B’C’D’\). Chứng minh rằng :
a) Các hình chóp \(A.A’B’C’D’\) và \(C.ABCD\) bằng nhau ;
b) Các hình lăng trụ \(ABC.A’B’C’\) và \(AA’D’.BB’C’\) bằng nhau.
Advertisements (Quảng cáo)
Giải
Gọi \(O\) là tâm của hình lập phương.
a) Phép đối xứng tâm \(O\) biến các đỉnh của hình chóp \(A.A’B’C’D’\) thành các đỉnh của hình chóp \(C’.ABCD\).
Vậy hai hình chóp đó bằng nhau.
b) Phép đối xứng qua mp\((ADC’B’)\) biến các đỉnh của hình lăng trụ \(ABC.A’B’C’\) thành các đỉnh của lăng trụ \(AA’D’.BB’C’\) nên hai hình lăng trụ đó bằng nhau.
Bài 9: Chứng minh rằng các phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm là những phép dời hình.
Giải
a)
Giả sử \({T_{\overrightarrow v }}\) là phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v \)
\(\eqalign{
& {T_{\overrightarrow v }}:\,M \to M’ \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,N \to N’ \cr} \)
Ta có \(\overrightarrow {MM’} = \overrightarrow {NN’} = \overrightarrow v \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {M’N’} \)
\(\Rightarrow MN = M’N’\)
Vậy phép tịnh tiến là một phép dời hình.
b)
Giả sử \({\tilde N_d}\) là phép đối xứng qua đường thẳng \(d\)
Giả sử
\({{\tilde N}_d}:M \to M’\)
\(N \to N’\)
Gọi \(H\) và \(K\) lần lượt là trung điểm của \(MM’\) và \(NN’\).
Ta có:
\(\eqalign{
& \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {M’N’} = \left( {\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {HK} + \overrightarrow {KN} } \right) \cr&+ \left( {\overrightarrow {M’H} + \overrightarrow {HK} + \overrightarrow {KN’} } \right) = 2\overrightarrow {HK} \cr
& \overrightarrow {MN} – \overrightarrow {M’N’} = \overrightarrow {HN} – \overrightarrow {HM} – \overrightarrow {HN’} + \overrightarrow {HM’}\cr& = \overrightarrow {N’N} + \overrightarrow {MM’} \cr} \)
Vì \(\overrightarrow {MM’} \bot \overrightarrow {HK} \) và \(\overrightarrow {N’N} \bot HK\) nên
\(\eqalign{
& {\overrightarrow {MN} ^2} – {\overrightarrow {M’N’} ^2} \cr&= \left( {\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {M’N’} } \right)\left( {\overrightarrow {MN} – \overrightarrow {M’N’} } \right) \cr&= 2\overrightarrow {HK} \left( {\overrightarrow {N’N} + \overrightarrow {MM’} } \right) = 0 \cr
& \Rightarrow M{N^2} = M’N{‘^2} \Rightarrow MN = M’N’ \cr} \)
Vậy phép đối xứng qua \(d\) là phép dời hình.
c) Nếu phép đối xứng qua tâm \(O\) biến hai điểm \(M, N\) lần lượt thành hai điểm \(M’, N’\) thì \(\overrightarrow {OM’} = – \overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {ON’} = – \overrightarrow {ON} \)
suy ra \(\overrightarrow {M’N’} = \overrightarrow {ON’} – \overrightarrow {OM’} = – \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {OM} = \overrightarrow {NM} \)
\(\Rightarrow M’N’ = MN\)
Vậy phép đối xứng tâm \(O\) là một phép dời hình.
Bài 10: Chứng minh rằng :
a) Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng song song \((P)\) và \((Q)\) là một phép tịnh tiến ;
b) Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) vuông góc với nhau là một phép đối xứng qua đường thẳng.
Giải
a)
Lấy hai điểm \(A\) và \(B\) lần lượt nằm trên \((P)\) và \((Q)\) sao cho \(AB \bot \left( P \right)\). Với một điểm \(M\) bất kì, ta gọi \({M_1}\) là điểm đối xứng với \(M\) qua mp\((P)\) và \(M’\) là điểm đối xứng với \({M_1}\) qua mp\((Q)\).
Như vậy \(M’\) là ảnh của \(M\) qua phép hợp thành của phép đối xứng qua mp\((P)\) và phép đối xứng qua mp\((Q)\).
Gọi \(H\) và \(K\) lần lượt là trung điểm của \(M{M_1}\) và \({M_1}M’\) thì ta có:
\(\overrightarrow {MM’} = \overrightarrow {M{M_1}} + \overrightarrow {{M_1}M’} = 2\left( {\overrightarrow {H{M_1}} + \overrightarrow {{M_1}K} } \right)\)
\(= 2\overrightarrow {HK} = 2\overrightarrow {AB} \)
Như vậy phép hợp thành nói trên chính là phép tịnh tiến theo vectơ \(2\overrightarrow {AB} \).
b)
Giả sử \(\left( P \right) \bot \left( Q \right)\) và \(d = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\)
Gọi \({M_1}\) là điểm đối xứng của \(M\) qua \((P)\) và \(H\) là trung điêm của \(M{M_1}\).
Gọi \(M’\) là điểm đối xứng của \({M_1}\) qua \((Q)\) và \(K\) là trung điểm của \({M_1}M’\)
Gọi \(O\) là giao điểm của \(\left( {M{M_1}M’} \right)\) với \(d\)
Ta có
\(\left( {M{M_1}M’} \right) \bot \left( P \right)\,\,;\)
\(\left( {M{M_1}M’} \right) \bot \left( Q \right) \Rightarrow \left( {M{M_1}M’} \right) \bot d\)
Ta có \(OH{M_1}K\) là hình chữ nhật và
\(\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {OM’} = \overrightarrow {OH} + \overrightarrow {HM} + \overrightarrow {OK} + \overrightarrow {KM’}\)
\( = \left( {\overrightarrow {OH} + \overrightarrow {OK} } \right) + \left( {\overrightarrow {{M_1}H} + \overrightarrow {{M_1}K} } \right) \)
\(= \overrightarrow {O{M_1}} + \overrightarrow {{M_1}O} = \overrightarrow 0 \)
Suy ra \(O\) là trung điểm của \(MM’\), mặt khác \(MM’ \bot d\). Vậy phép hợp thành của phép đối xứng qua mp\((P)\) và phép đối xứng qua mp\((Q)\) với \(\left( P \right) \bot \left( Q \right)\) là phép đối xứng qua đường thẳng \(d\).
